Question

Um triângulo retângulo cujos lados medem x − 2 , x e x + 2 , no qual x é um número real, e uma semicircunferência cujo diâmetro é a hipotenusa (x + 2) do triângulo retângulo. A medida da área sombreada é:

a) 16π – 24
b) (25π – 48)/2
c) 25π – 24
d) (25π – 24)/2
e) 16π – 48

Answer 1

A área da figura pode ser calculada pela subtração da área do triangulo inscrito na circunferência

Primeiro: descobrir x

para descobrir X podemos aplicar o teorema de pitagoras onde temos que a soma dos quadrados dos catetos é o quadrado da hipotenusa:

(x-2)² + x² = (x+2)²
 tanto (x-2)²  como  (x+2)² são produtos notáveis sendo assim sua resolução é padrão então não vou desenvolver ela

temos como resultado da expressão acima esta equação:
x² - 4x + 4 + x² = x² +4x +4
e organizando temos
x² -4x +4 + x² - x² -4x - 4 = 0
simplificando, cortando e somando temos:
x² -8x = 0
Esta é uma equação do segundo grau em que o "C" é 0, portanto o Δ é apenas b²

Δ =64
aplicando:
x'= (8+8)/2 = 16/2 = 8
x''=(8-8)/2 = 0/2  = 0

Podemos verificar que x" vai zerar então a única resposta para esta equação que aplica-se ao triangulo (que não pode ter lados igual a 0) é o x' que é 8.

Segundo passo: calcular a área da circunferência

A área da circunferência é dada por πR², e sabemos que o diametro dela é também a hipotenusa do triangulo.

D = x+2, sabemos que x é 8 então: D  = 8+2, D=10 porém o raio é a metade do diametro então temos R=5

Voltando na formula da área da circunferência temos π5² que resulta em 25π.
Porém TEMOS APENAS METADE DA CIRCUNFERÊNCIA, ou seja, 25π/2.

Em seguida vamos calcular a área do triangulo inscrito para subtrairmos da circunferência

A área do triangulo retangulo é dada pelo produto dos catetos dividido por dois ou:

A = (C*c)/2

Nossos catetos são: x(8) e x-2 (6) então temos

8*6 = 48/2 = A

A área resultante: dada pela subtração da área da circuferencia pela área do triangulo.

Repara-se que ambos os resultados anteriores tem um divisor 2, portanto pode-se subtrair os numeradores e continuar com o mesmo divisor

sendo assim

25π/2 - 48/2 = Area hachurada
(25π - 48)/2 = Área hachurada