Question

Um triângulo equilátero tem a medida do lado seu perímetro e sua área em progressão geométrica a área deste triângulo mede
A)108
B)216
C)54
D)128
E)64
Preciso Dos Cálculos e da Ajudar de Você

Answer 1

O triângulo equilátero tem os seus três lados iguais. O perímetro de um triângulo é a soma dos três lados:

$P = \ell + \ell + \ell = 3 \cdot \ell$

Para calcular a área do triângulo equilátero, pode cortá-lo na metade em dois triângulos retângulos idênticos de base $\dfrac{\ell}{2}$ e hipotenusa $\ell$. A altura, h, pode ser calculada pelo Teorema de Pitágoras:

$\ell^2 = h^2 + \left(\dfrac{\ell}{2}\right)^2$

$\ell^2 = h^2 + \dfrac{\ell^2}{4}$

$\ell^2 - \dfrac{\ell^2}{4} = h^2$

$\dfrac{4 \cdot \ell^2}{4} - \dfrac{\ell^2}{4} = h^2$

$\dfrac{3 \cdot \ell^2}{4} = h^2$

Aplicando a raiz quadrada dos dois lados da equação:

$\sqrt{\dfrac{3 \cdot \ell^2}{4}} = \sqrt{h^2}$

$h = \dfrac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{\ell^2}}{\sqrt{4}}$

$h = \dfrac{\sqrt{3} \cdot \ell}{2}$

Assim, a área de cada triângulo retâgulo será metade do produto entre base e a altura. Como temos dois triângulos retângulos iguais, a área do triângulo equilátero é simplesmente metade da base multiplicado pela altura:

$A_{eq} = b_{ret}\cdot h = \dfrac{\ell}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3} \cdot \ell}{2}$

$A_{eq} = \dfrac{\sqrt{3} \cdot \ell^2}{4}$

Ou seja, a progressão geométrica é dada por:

$P.G. = \left[\ell, 3 \cdot \ell, \dfrac{\sqrt{3} \cdot \ell^2}{4}\right]$

Dado que o termo geral de uma P.G. é:

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

Onde: $a_n$ é o termo n, $a_1$ o primeiro termo, n é o número do termo e q a razão da progressão. Assim, o segundo termo pode ser escrito como:

$a_2 = a_1 \cdot q^{2-1}$

$a_2 = a_1 \cdot q^{1}$

$a_2 = a_1 \cdot q$

Substituindo $a_1$ e $a_2$ pelos seus respectivos termos da P.G.:

$3 \cdot \ell = \ell \cdot q$

$q = \dfrac{3 \cdot \ell}{\ell}$

$q = 3$

O terceiro termo pode ser escrito como:

$a_3 = a_1 \cdot q^{3-1}$

$a_3 = a_1 \cdot q^{2}$

Substituindo $a_1$ e $a_2$ pelos seus respectivos termos da P.G. e q por 3:

$a_3 = a_1 \cdot q^{2}$

$\dfrac{\sqrt{3} \cdot \ell^2}{4} = \ell \cdot 3^2$

$\dfrac{\sqrt{3} \cdot \ell^2}{4} = 9 \cdot \ell$

Passando o 4 para o outro lado multiplicando:

$\sqrt{3} \cdot \ell^2 = 4 \cdot 9 \cdot \ell$

$\sqrt{3} \cdot \ell^2 = 36 \cdot \ell$

Dividindo ambos os lados por $\ell$:

$\dfrac{\sqrt{3} \cdot \ell^2}{\ell} = \dfrac{36 \cdot \ell}{\ell}$

$\sqrt{3} \cdot \ell = 36$

Assim:

$\ell = \dfrac{36}{\sqrt{3}}$

Multiplicando numerador e denominador por $\sqrt{3}$:

$\ell = \dfrac{36}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$\ell = \dfrac{36 \cdot \sqrt{3}}{3}$

$\ell = 12 \cdot \sqrt{3}$

Descobrimos quanto mede o lado, agora para encontrar a área, basta substituir:

$A = \dfrac{\sqrt{3} \cdot \ell^2}{4}$

$A = \dfrac{\sqrt{3} \cdot (12 \cdot \sqrt{3})^2}{4}$

$A = \dfrac{\sqrt{3} \cdot 144 \cdot 3}{4}$

$\boxed{A = 108 \cdot \sqrt{3} \text{ cm}^2}$