Question

Um triângulo equilátero de lados 8 cm e altura 6 cm, foi ampliado de forma que sua área passou a ser de 30 cm2. Qual é a medida da altura, após a ampliação?

Answer 1

No triangulo equilátero, a altura pode ser escrita em função da medida do lado como:

$Altura\,(h)~=~Lado~.~\frac{\sqrt{3}}{2}$

Sendo assim, a nova área pode ser determinada como segue:

$Area~=~\frac{Altura~.~Base}{2}\\\\\\Area~=~\frac{Altura~.~Lado}{2}\\\\\\Area~=~\frac{Lado~.~\frac{\sqrt{3}}{2}~.~Lado}{2}\\\\\\30~=~\frac{Lado^2~.~\sqrt{3}}{4}\\\\\\Lado^2~.~\sqrt{3}~=~30~.~4\\\\\\Lado^2~=~\frac{120}{\sqrt{3}}\\\\\\\boxed{Lado~=~\frac{\sqrt{120}}{\sqrt[4]{3}}}$

Sendo assim, a altura fica:

$h~=~\frac{\frac{\sqrt{120}}{\sqrt[4]{3}}~.~\sqrt{3}}{2}\\\\\\h~=~\frac{\sqrt{120}~.~\sqrt{3}}{2~.~\sqrt[4]{3}}\\\\\\h~=~\frac{2\sqrt{30}~.~\sqrt{3}}{2~.~\sqrt[4]{3}}\\\\\\h~=~\frac{\sqrt{30~.~3}}{\sqrt[4]{3}}\\\\\\h~=~\frac{\sqrt{90}}{\sqrt[4]{3}}\\\\\\h~=~\frac{3\sqrt{10}}{\sqrt[4]{3}}~.~\frac{\sqrt[4]{3^3}}{\sqrt[4]{3^3}}\\\\\\h~=~\frac{3\sqrt{10}~.~\sqrt[4]{3^3}}{3}\\\\\\\boxed{h~=~\sqrt{10}.\sqrt[4]{27}}$