Question

Um triângulo equilatero de lado 5 cm está inscrito em uma circunferência de raio r. Qual a medida do diâmetro dessa circunferência?

Answer 1

O centro da circunferência que circunscreve um triângulo equilátero é também o baricentro (e o ortocentro e o incentro) deste triângulo. Como a distância do baricentro ao vértice do triângulo é igual a 2/3 da mediana (ou da altura, ou da bissetriz) e esta distância também é igual ao raio (r) da circunferência circunscrita, podemos escrever que:
r = 2/3 × h = 2h ÷ 3 [1]
Sabemos que a altura (h) do triângulo equilátero, em função do lado (a) é igual a:
h = a√3 ÷ 2
Assim, a altura (h) deste triângulo de lado igual a 5 cm é:
h = 5√3 ÷ 2
h = 5 × 1,732 ÷ 2
h = 4,33 cm
Substituindo o valor aqui obtido para h em [1], ficamos com:
r = 2 × 4,33 ÷ 3
r = 2,887 cm
Como o diâmetro (d) é igual ao dobro do raio (r), temos:
d = 2 × 2,887 cm
d = 5,774 cm, diâmetro da circunferência que circunscreve o triângulo