Question

A avaliação de posições relativas (entre pontos e retas, retas e planos e afins) é uma possibilidade de estudar distâncias de forma mais abrangente, podendo ser aplicadas de inúmeras formas na engenharia como na medida de distâncias entre estruturas. Também muito útil nesses casos é verificar as condições (paralelos, perpendiculares) entre si. Deseja-se acoplar duas chapas metálicas e para isso deve-se avaliar se estas estão completamente paralelas entre si. Sabendo as equações dos planos nos quais as placas estão contidas são: Plano 1: 2x – 5y + 2z = 0 Plano 2: –4x + 10y – 4z – 10 = 0 Responda: a) Os planos são paralelos? b) Qual a distância em metros entre os planos? (Se eles se interceptarem, a distância será zero)

Answer 1

Os planos 2x - 5y + 2z = 0 e -4x + 10y - 4z - 10 = 0 são paralelos. A distância entre os planos é igual a 10/√132.

a) Note que o vetor normal do plano 1: 2x - 5y + 2z = 0 é igual a n' = (2,-5,2).

Já o vetor normal do plano 2: -4x + 10y - 4z - 10 = 0 é igual a n'' = (-4,10,-4).

Observe que n'' = -2.n', ou seja, os vetores normais são linearmente dependentes. Além disso, os termos independentes são diferentes (do plano 1 é 0 e o do plano 2 é -10).

Portanto, podemos afirmar que os planos 1 e 2 são paralelos.

b) Precisamos de um ponto de um dos planos. Vamos analisar um ponto do plano 1.

O ponto P = (1,0,-1) pertence ao plano 1. Do plano 2 temos que a = -4, b = 10, c = -4 e d = -10.

Utilizando a fórmula da distância entre ponto e plano, obtemos:

$d = \frac{|(-4).1 + 10.0 + (-4).(-1) - 10|}{\sqrt{(-4)^2 + 10^2 + (-4)^2}}=\frac{|-10|}{\sqrt{132}}=\frac{10}{\sqrt{132}}$.

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo: