Question

Um triângulo ABC tem área igual a raiz quadrada de 6, onde A=(2,1,0), B=(-1,2,1) e o vértice C esta no eixo Y. Sabendo-se que a area (A) de um triangulo qualquer pode ser calculada por um produto vetorial, onde A=II u.v II / 2, uma possivel coordenada do vertice será: a) (0,5/3,0), b) (0,3/5,0), c) (0,1/5,0)

Answer 1

Boa tarde

A = (2, 1,0)
B = (-1, 2, 1)
C = (0, y, 0)

BA = B - A = (3, -1, .1)
CA = C - A = (-2, y, 0)

produto vetorial BA x CA
 
 i       j      k       i       j 
 3    -1     1       3    -1
-2     y      0     -2     y

-2j + 3yk - 2k - yi = (-y, -2, 3y - 2)

|BAxCA| = √(y² + 2² + (3y-2)²) = √(10y² - 12y + 8)

√(10y² - 12y + 8) = 2√6 

10y² - 12y + 8 = 24 
10y² - 12y - 16 = 0 

y1 = -4/5
y2 = 2 

Answer 2

Uma possível coordenada do vértice C será $\left(0,\dfrac{1}{5},0\right)$, alternativa correta letra C.

Geometria Analítica no $\mathbb{R}^3$

Para obtermos as coordenadas do vértice C do triângulo ABC vamos aplicar o conceito de área utilizando o módulo do produto vetorial.

$A_{\Delta ABC}=\dfrac{|u\times v|}{2}$

Vamos verificar a coordenadas dos vértices:

$A=(2,1,0); \ B=(-1,2,1) ; \ C=(0,y,0)$

Determinar os vetores $u$ e $v$:

$u=AB=B-A=(-3,1,1)\\\\v=AC=C-A=(-2,y-1,0)$

Calculando o produto vetorial:

$u\times v=\begin{vmatrix}i & j & k \\ -3 & 1 & 1\\ -2 &y-1 & 0 \end{vmatrix}\\\\u\times v=(1-y)i-2j+(5-3y)k$

Obtendo o módulo do produto vetorial:

$|u\times v|=\sqrt{(1-y)^2+(-2)^2+(5-3y)^2}\\\\|u\times v|=\sqrt{10y^2-32y+30}$

Substituindo no cálculo da área obtemos:

$A_{\Delta ABC}=\dfrac{|u\times v|}{2}=\sqrt{6}\\\\\sqrt{10y^2-32y+30}=2\sqrt{6}\\\\10y^2-32y+30=24\\\\5y^2-16y+3=0\\\\y'=\dfrac{1}{5} \ e \ y''=3$

Para saber mais sobre produto vetorial acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/15278510