Question

Um teste de múltipla escolha e composto de 12 questões, com 5 alternativas de resposta, sendo que somente
uma, é correta.
Qual a probabilidade de uma pessoa, marcando aleatoriamente as 12 questões, acertar metade das respostas?

Answer 1

Nesse experimento, para cada questão marcada, há duas possibilidades de resultado, acertar ou errar, portanto poderemos modelar este problema como uma distribuição binomial.

Em uma distribuição binomial, a probabilidade de alcançarmos um número "k" de sucessos é dado por:

$\sf P~=~C_{n,k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}\\\\\\Onde:~~\left\{\begin{array}{ccl}\sf n&\sf :&\sf Total~de~eventos~(quest\tilde{o}es)\\\sf k&\sf :&\sf Total~de~sucessos~(acertos)\\\sf p&\sf :&\sf Probabilidade~de~sucesso~(prob.~de~acerto)\end{array}\right$

Vamos começar extraindo os dados do texto que são dados de forma explícita:

$\boxed{\sf \begin{array}{ccc}\sf n&\sf =&\sf 12\\\sf k&\sf =&\sf 6\end{array}}$

Falta ainda sabermos a probabilidade "p" de acerto em cada questão.

Observe que o enunciado nos diz que há sempre 5 alternativas com apenas 1 correta, isto é, temos 1 chance em 5 de acertarmos cada questão de forma aleatória, logo:

$\boxed{\sf p~=~\dfrac{1}{5}~=~0,2}$

Podemos agora calcular a probabilidade de acertarmos 6 das 12 questões:

$\sf P~=~\dbinom{12}{6}\cdot (0,2)^6\cdot (1-0,2)^{12-6}\\\\\\P~=~\dfrac{12!}{6!\cdot (12-6)!}\cdot (0,2)^6\cdot (0,8)^{6}\\\\\\P~=~\dfrac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{6!\cdot 6!}\cdot (0,2)^6\cdot (0,8)^{6}\\\\\\P~=~\dfrac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot \not\!6!}{\not\!6!\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\cdot (0,2)^6\cdot (0,8)^{6}$

$\sf P~=~\dfrac{2\cdot 11\cdot 2\cdot 9\cdot 2\cdot 7}{ 1\cdot 1\cdot 1\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\cdot (0,2)^6\cdot (0,8)^{6}\\\\\\P~=~\dfrac{5544}{ 6}\cdot (0,2)^6\cdot (0,8)^{6}\\\\\\P~=~924\cdot \dfrac{1}{15625} \cdot \dfrac{4096}{15625}\\\\\\\boxed{\sf P~\approx~0,0155}\\\\\\Multiplicando~este~valor~por~100,~teremos~a~probabilidade~percentual:\\\\\\P~\approx~100\cdot 0,0155\\\\\\\boxed{\sf P~\approx~1,55\%}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$