Question

um terreno tem suas dimensoes medindo X de comprimento e Y de largura. Sua àrea é 600m2 e seu Perimetro è 100 metros. monte as equaçoes da area e do perimetro, encontre as medidas X e Y resolvendo esse sistema.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Augusto, que a resolução parece simples.

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se que um um terreno tem suas dimensoes medindo "x" de comprimento e "y" de largura. Sua área é 600m² e seu perímetro é de 100 metros. Monte as equações da área e do perímetro, encontre as medidas "x" e "y" resolvendo esse sistema.

ii) Veja: a área (A) de um retângulo é dado por comprimento (C) vezes largura (L). Logo, para a área teremos isto:

A = C*L ---- como a área mede 600m² e como o comprimento é "x" e a largura é "y", então teremos que:

600 =x*y ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo:

xy = 600                . (I)

A expressão (I) acima dá a equação da área do terreno da sua questão.

Temos também que o perímetro (P) de um retângulo é dado por duas vezes o comprimento mais duas vezes a largura. Então teremos que o perímetro será:

P = 2C + 2L ---- como o perímetro é 100m e o comprimento é "x" e a largura é "y", então teremos:

100 = 2x + 2y ---- vamos apenas inverter, ficando:

2x + 2y = 100 ---- para facilitar vamos dividir ambos os membros por "2", como que ficaremos assim:

x + y = 50              . (II)

A expressão (II) acima dá a equação do perímetro da sua questão.

iii) Agora vamos resolver o sistema formado pelas expressões (I) e (II) que são estas:

{xy = 600           . (I)

{x + y = 50        . (II)

Vamos na expressão (II) e vamos isolar "x". Repetindo a expressão (II), temos:

x + y = 50 ---- isolando "x", temos:

x = 50 - y            . (III)

iv) Agora vamos na expressão (I) e, nela, substituiremos "x" por "50-y", conforme vimos na expressão (III). Vamos repetir a expressão (I):

xy = 600 ---- substituindo-se "x" por "50-y", teremos:

(50-y)*y = 600 ---- efetuando o produto indicado no 1º membro, temos:

50y - y² = 600 ---- vamos passar todo o 1º membro para o 2º, ficando:

0 = 600 - 50y + y² ---- ordenando, teremos:

0 = y² - 50y + 600 ---- finalmente, invertendo-se, teremos:

y² - 50y + 600 = 0 ---- Note: se você aplicar Bháskara encontrará as seguintes raízes:

y' = 20

y'' = 30.

Agora note: se formos na expressão (II) e substituirmos o "y" por "20" encontraremos que x = 30; e se substituirmos o "y" por "30" encontraremos que x = 20. Logo, é indiferente dizer se o comprimento é 20m e a largura é de 30m ou se o comprimento é de 30m e a largura é de 20m. Assim, indo mais pela lógica, pois geralmente (apenas geralmente, não é sempre) o comprimento é maior que a largura, então poderemos dizer que:

x = 30m e y = 20m <--- Esta é a resposta quanto ao comprimento e a largura. Note que também poderia ser: x = 20 e y = 30, com a altura maior que o comprimento o que não teria nenhum problema. Só admitimos a resposta como x = 30 e y = 20 apenas por uma tradição de o comprimento ser maior que a largura.

E quanto ao que foi pedido sobre as equações da área e do perímetro, também já vimos antes, que eram estas:

xy = 600 <--- Esta é a resposta para a equação da área do terreno.

x + y = 50 <-- Esta é a resposta para a equação do perímetro do terreno.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.