Question

Um terreno com formato semelhante a um triângulo retângulo será dividido em duas partes por uma cerca construída na bissetriz do ângulo . Sabe-se que os lados desse terreno valem AB = 80 m, BC = 60 m e AC = 100 m. Calcule a área do terreno II, sabendo que a razão entre a área do terreno I e do terreno II é 3/5.

Answer 1

Resposta:

2100 m²

Explicação passo a passo:

Os lados AB e BC são os catetos do triângulo retângulo ABC e, portanto, eles são perpendiculares.  Vamos considerar o lado BC como sendo a base do triângulo ABC. Nesse caso, o lado AB é a altura relativa à base BC e essa altura mede AB= 80 m. Repare que o pé da bissetriz divide essa base BC em dois segmentos. O pé da bissetriz é um ponto, que vamos chamar de P (veja a figura anexa). Note que o terreno I é o triângulo ACP e o terreno II é o triângulo ABP. Note também que, se considerarmos CP e BP como sendo as bases desses dois triângulos, então ambos têm a mesma altura igual a AB = 80 m. Vamos chamar de $h$ essa altura. Vamos chamar de $x$ a medida de CP; então, a medida de BP será $60-x$ (veja a figura anexa).

Lembrando que a área de um triângulo é "base vezes altura dividido por 2", vamos calcular abaixo as áreas dos terrenos.

Área do triângulo ACP (terreno I):

$A_I=\frac{CP\cdot AB}{2}=\frac{x\cdot h}{2}$

Área do triângulo ABP (terreno II):

$A_{II}=\frac{BP\cdot h}{2}=\frac{(60-x)\cdot h}{2}$

Como a razão entre as áreas I e II é 3/5, podemos escrever:

$\frac{3}{5}=\frac{\frac{x\cdot h}{2}}{\frac{(60-x)\cdot h}{2}}$

$\frac{3}{5}=\frac{x\cdot h}{2}\cdot \frac{2}{(60-x)\cdot h}$

$\frac{3}{5} =\frac{x}{60-x}$

$3\cdot (60-x)=5x$

$3\cdot 60-3x=5x\\180-3x=5x$

$5x+3x=180\\8x=180$

$x=\dfrac{180}{8}$

$x=22,5\ m$

Então, a base CP do terreno I mede 22,5 m. Logo, a base do terreno II mede $60-22,5=37,5\ m$. Portanto, a área do terreno II será:

$A_{II}=\frac{37,5\cdot 80}{2}=1500\ m^2$