Question

Um teatro possui 12 poltronas na primeira fileira, 14 na segunda e 16 na terceira; as demais fileiras se compoem na mesma seguencia. Quantas fileiras são necessarias para o teatro ter um total de 570 poltronas?

Answer 1

As poltronas formam uma PA (Progressão aritmética)

• PA = {12, 14, 16, ...}

• os termos dessa PA representam as fileiras.

Além disso, sabemos que a razão da PA é 2

r = 2

E um termo de uma PA é dado pela fórmula:

$an \: = \: a1 \: + \: (n - 1).r$

• o último termo será então:

an = 12 + (n-1).2

an = 12 + 2n - 2

an = 2n + 10

--------------------------------

A soma total das poltronas é a soma da PA, que resultará em 570

Utilizando a fórmula da soma dos termos da PA:

$s \: = \frac{(a1 + an).n}{2}$

$570 \: = \: \frac{(12 + 2n + 10).n}{2}$

1140= (2n + 22).n

2n² + 22n - 1140 = 0 (dividindo toda a equação por 2)

n² + 11n - 570 = 0

Desenvolvimento por baskara

∆ = b² - 4.a.c

∆ = 11² - 4.1.(-570)

∆ = 121 + 2208

∆ = 2401

√∆ = 49

n = (-b +/- √∆) / 2a

n = (-11+49)/2

n = 19

ou

n' = (-11-49)/2

n' = -30 (desconsiderada)

Como n representa o número de fileiras, não pode ser negativo, então, a hipótese n'= -30 é desconsiderada

Portanto, haverá 19 fileiras!