Question

um teatro possuí 12 poltronas na 1 fileira 14 na 2 e 16 na 3 as demais fileiras se compõem na mesma sequência. quantas fileiras são necessárias para ter um total de 620 poltronas.

Answer 1

Olá Ira61,

trata-se de uma progressão aritmética, onde:

$\begin{cases}12~poltronas~na~1\ª~fileira~\to~a_1=12\\ r=2\ª~fileira-1\ª~fileira~\to~r=14-12~\to~r=2\\ a_n=?~\to~quantas~poltronas~existem~na~u\´ltima~fila\\ n=?~\to~n\°~de~fileiras\\ S_n=620~\to~soma~total~das~poltronas\end{cases}$

Usando a fórmula do termo geral da P.A., temos:

$a_n=a_1+(n-1)r\\ a_n=12+(n-1)*2\\ a_n=12+2n-2\\ a_n=2n+10$

Sabendo-se que an=2n+10, podemos substituí-lo na fórmula da soma dos n primeiros termos da P.A., juntamente com o valor da soma (nº de poltronas), teremos:

$S_n= \dfrac{(a_1+a_n)n}{2} \\\\\\ 620= \dfrac{(12+2n+10)*n}{2}\\\\ \dfrac{(2n+22)*n}{2}=620\\\\ (n+11)*n=620\\ n^2+11n=620\\ n^2+11n-620=0$

$\Delta=b^2-4ac\\ \Delta=11^2-4*1*(-620)\\ \Delta=121+2.480\\ \Delta=2.601$

$n= \dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}\\\\ n= \dfrac{-11\pm \sqrt{2.601} }{2*1}= \dfrac{-11\pm51}{2}=\begin{cases}n'= \dfrac{-11+51}{2}\to~n'=20\\\\ n''= \dfrac{-11-51}{2}\to~n''=-31 \end{cases}$

Como n, é número de contagem pertencente ao conjunto dos números naturais, só nos serve n=20, portanto, serão necessárias 20 fileiras para se ter um número total de poltronas igual a 620.

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))