Question

Um tanque no formato de um cone está sendo esvaziado. A altura está variando a uma taxa de -0,6 metros por minuto e o raio está variando a uma taxa de -0,3 metros por minuto. Qual a taxa de variação do volume no instante em que o raio R = 1 metro e a altura H = 2 metros ?

Answer 1

Fazendo a derivada implicita do volume temos que o volume esta variando $V'=-0,06\pi$ m³ por minuto.

Explicação passo-a-passo:

Esta é uma questão simples de derivadas implicitas.

Sabemos que o volume do cone é dado por:

$V=\frac{1}{3}\pi R^2.h$

Se derivarmos esta equação implicitamente, teremos:

$V'=\frac{2}{3}\pi R.R'.h+\frac{1}{3}\pi R^2.h'$

Mas como sabemos que o raio R neste momento vale 1, a altura neste momento vale 2, e a derivada do raio neste momento é -0,03 e a derivada da altura neste momento vale -0,6, substituindo estes valores temos:

$V'=\frac{2}{3}\pi R.R'.h+\frac{1}{3}\pi R^2.h'$

$V'=\frac{2}{3}\pi 1.(-0,03).2+\frac{1}{3}\pi (1)^2.(-0,6)$

$V'=-\frac{0,12}{3}\pi-\frac{0,6}{3}\pi$

$V'=-\frac{0,18}{3}\pi$

$V'=-0,06\pi$

Então o volume esta variando $V'=-0,06\pi$ m³ por minuto.

Answer 2

Dados:

$\mathsf{\dfrac{dH}{dt}=-0,6{m}^{3}/min}$

$\mathsf{\dfrac{dR}{dt}=-0,3m/min}$

$\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=? }$

$\mathsf{R=1m}\\\mathsf{H=2m}$

Solução

$\mathsf{V=\dfrac{1}{3}.\pi.{R}^{2}.H}\\\mathsf{V=\dfrac{1}{3}\pi({R}^{2}.H)}$

$\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{1}{3}.\pi</p><p>(2.R.\dfrac{dR}{dt}.H+{R}^{2}.\dfrac{dH}{dt})}$

$\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{1}{3}.\pi(2.1.(-0,3). 2+{1}^{2}.(-0,6)}$

$\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{1}{3}.\pi(-1,2-0,6)}$

$\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{1}{3}.\pi(-1,8)}$

$\huge\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=-0,06\pi{m}^{3}/min}}}$