Question

Um tanque contém 1000 litros de água pura. Uma solução contendo 0,05 kg/L de sal entra no tanque a uma taxa de 5 L/min. Uma solução contendo 0,04 kg/L de sal entra no tanque a uma taxa de 10 L/min. A solução é misturada homogeneamente e sai do tanque a uma taxa de 15L/min. Qual sal estará no tanque depois de meia hora?

Answer 1

15,70 kg sal estará no tanque depois de meia hora

Temos um tanque que contém:

Volume(V) = 1000 litros de água pura

Uma solução 1 (S₁) = 0,05 kg/L de sal

Taxa Solução 1 (T₁) = 15 L/min.

Uma solução 2 (S₂) = 0,04 kg/L de sal

Taxa da soluão 2 (T₂)= 10 L/min.

Taxa da mistura que sai do tanque (Ts) = 15L/min.

Agora, para determinar o sal que estará no tanque depois de meia hora (30 min) aplicamos as derivadas das taxas para cada instante:

$\frac{dy}{dt} = (S_{1}*T_{1} + S_{2}*T_{2}) - \frac{T_{s}*m}{V}$

Agora substituimos na formula:

$\frac{dy}{dt} = (0,5 * 5 + 0,04*10) - \frac{15*m}{1000}\\\\\frac{dy}{dt} =0,65 - 0,015 m\\\\\frac{dy}{dt} + 0,015 = 0,65$ equação I

$F.I = e^{\int0,015*dt}\\\\F.I = e^{0,015*t}$

Agora podemos integrar as duas partes da equação e temos:

$\int d(e^{0,015*t}*m) = \int 0,65 * e^{0,015*dt}\\\\(e^{0,015*t}*m) = \frac{130}{3} * e^{0,015*t} + C\\\\m = \frac{130}{3} + C * e^{-0,015*t}$ equação II

Agora para o instante 0 temos que C  = - 130/3, assim para o momento da saída (instante 30), temos que o sal que estará no tanque é:

$m = \frac{130}{3} + (- \frac{130}{3}) * e^{-0,015*30}\\\\m = \frac{130}{3} - \frac{130}{3} * e^{-0,015*30}\\\\m = e^{-0,015*30}\\\\m = 15,70\;Kg$