Question

Um tanque cilíndrico tem dimensões tais que sua altura é 6,0 m menos o raio da base. Deseja-se construir este tanque de modo que suas dimensões proporcionem o máximo volume possível. Considere pi = 3,14 e Responda:

(A) Quais devem ser as dimensões (altura e raio da base) deste tanque?

(B) Qual é o máximo volume deste tanque?

Answer 1

Sendo $r=x$ a medida do raio da base, a altura do tanque é dada por $h=6-x$

(medidas dadas em metros)


Portanto, o volume do tanque é dado por

$V=\pi r^2\cdot h\\\\ \boxed{\begin{array}{c} V(x)=\pi x^2\,(6-x) \end{array}}~~~~~~~\text{com }x>0.$

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Queremos encontrar o ponto de máximo de $V(x)$ no intervalo $(0,\,+\infty).$

Como $V$ é derivável nesse intervalo, todos os pontos críticos (candidados a máximos/mínimos) satisfazem

$V'(x)=0$


Calculando a derivada $V'(x):$

$V'(x)=(\pi x^2(6-x))'\\\\ V'(x)=(\pi x^2)'\cdot (6-x)+\pi x^2\cdot (6-x)'\\\\ V'(x)=2\pi x\cdot (6-x)+\pi x^2\cdot (-1)\\\\ V'(x)=12\pi x-2\pi x^2-\pi x^2\\\\ V'(x)=12\pi x-3\pi x^2\\\\ \boxed{\begin{array}{c}V'(x)=3\pi x\cdot (4-x) \end{array}}$


Encontrando os pontos críticos:

$V'(x)=0\\\\ 3\pi x\,(4-x)=0\\\\ x=0~~\text{(n\~ao serve)}~~\text{ ou }~~x=4$


Logo, temos apenas um ponto crítico:

$\boxed{\begin{array}{c} x_0=4 \end{array}}$

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Para verificar se $x_0=4$ é ponto de máximo, basta analisarmos o sinal da derivada $V'(x)$ na vizinhança de $x_0=4:$


Analisando a expressão de $V'(x),$ vemos que

$V'(x)>0~~\text{para }0<x<4~~~~\text{(derivada positiva \`a esquerda)}\\\\ V'(x)<0~~\text{para }x>4~~~~\text{(derivada negativa \`a direita)}$


Isto significa que a função $V(x)$ é crescente para $0<x<4,$ e é decrescente para $x>4.$

Assim, concluímos que $x_0=4$ é de fato um ponto de máximo da função. E ainda mais. Este é o único ponto crítico da função no intervalo $(0,\,+\infty).$

Então, $x_0=4$ é o ponto de máximo absoluto de $V.$

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(A) Pela análise acima, sabemos que o volume é máximo quando o raio da base mede 

$\boxed{\begin{array}{c}x=4\text{~m} \end{array}}$

a altura do tanque é dada por

$h=6-x\\\\ h=6-4\\\\ \boxed{\begin{array}{c}h=2\mathrm{~m} \end{array}}$


(B) O volume máximo do tanque é

$V(4)=\pi\cdot 4^2\cdot (6-4)\\\\ V(4)=\pi\cdot 16\cdot 2\\\\ \boxed{\begin{array}{c}V(4)=32\pi\approx 100,48\mathrm{~m^3} \end{array}}$