Question

Um sólido é formado pela rotação da função y=x^3 em torno do eixo y. Sabe-se que y varia entre 0 e 8. assinale a alternativa que contém o volume aproximado desse sólido
50000
19,2 u.v
1608,49 u.v
60,32 u.v
300000 u.v

Answer 1

⇒     Aplicando nossos conhecimentos sobre Volume de Sólido de Revolução, concluímos que o volume do sólido da questão é 60,32 uv.

☛     O volume V do sólido gerado pela revolução da área limitada pela curva   $x=f(y)$   em torno do eixo y no intervalo   $y=a$  e  $y=b$  é

     $\large{\boxed{V=\int_a^b \pi x^2 dy}}$

➜     Na sua questão, temos  $y=x^{3} \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{y}$ ,  $a=0$  e  $b=8$

∴     O volume pedido é

$\begin{array}{l}\displaystyle V=\int _{a}^{b} \pi x^{2} dy\\\\\ \ \ \displaystyle =\pi \int _{0}^{8} y^{2/3} \ dy\\\\\ \ \ \displaystyle =\frac{3\pi }{5} \cdotp y^{5/3}\Bigl|_{0}^{8} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[ \because \int ax^{n} dx=a\frac{x^{n+1}}{n+1} +c,n\neq -1\right]\\\\\ \ \ =\frac{3\pi \cdotp \sqrt[3]{8^{5}}}{5}\\\\\ \ \ \approx 60,32\ uv\end{array}$

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