Question

Um sistema de geradores do subespaço U={(x,y,z) ϵ IR³ / x= -z } é?

Answer 1

Encontrar a forma geral dos vetores pertencentes ao subespaço

$U=\left\{\left(x,\,y,\,z \right )\in \mathbb{R}^{3}\left|\,x=-z\right. \right \}$

Façamos

$x=\alpha,\;\;y=\beta$


Pela restrição do subespaço, encontramos

$z=-\alpha$


Logo, os vetores pertencentes a este subespaço são da forma

$\left(\alpha, \beta, -\alpha \right )$

onde $\alpha,\, \beta$ são escalares.


Sendo assim, temos

$\left(\alpha, \beta, -\alpha \right )=\left(\alpha,\,0,\,-\alpha \right )+\left(0,\,\beta,\,0 \right )\\ \\ \left(\alpha, \beta, -\alpha \right )=\alpha\left(1,\,0,\,-1 \right )+\beta\left(0,\,1,\,0 \right )$


Da última igualdade acima, concluimos que podemos escrever qualquer vetor do subespaço $U$ como uma combinação linear dos vetores

$\left(1,\,0,\,-1 \right )\;\;\text{e}\;\;\left(0,\,1,\,0 \right )$


Logo, um sistema de geradores do subespaço $U$ pode ser

$\left[\left(1,\,0,\,-1 \right ),\,\left(0,\,1,\,0 \right )\right]$


(observação.: o conjunto gerador não é único)