Question

Um senhor feudal construiu um fosso, circundado por muros, em volta de seu castelo, conforme a planta abaixo, com uma ponte
para atravessá-lo. Em um certo dia, ele deu uma volta completa no muro externo, atravessou a ponte e deu uma volta completa
no muro interno. Esse trajeto foi completado em 5320 passos. No dia seguinte, ele deu duas voltas completas no muro externo,
atravessou a ponte e deu uma volta completa no muro interno, completando esse novo trajeto em 8120 passos. Pode-se concluir
que a largura L do fosso, em passos, é:

Answer 1

O problema pede a largura L do fosso. Pela explicação é possível essa medida como o tamanha do ponte que liga os dois muros. 
Analisando o trajeto podemos nomear em etapas para facilitar os cálculos, sendo:
M = tamanho do muro externo em passos;
m = tamanho do muro interno em passos;
R = raio do muro externo;
r = raio do muro interno;
L = tamanho da ponte em passos (medida que queremos).

Agora para resolução:
Foram 5320 passo para percorrer o trajeto do primeiro dia, e 8120 para percorrer o mesmo trajeto dando uma volta a mais no muro externo. Pela diferença podemos obter o tamanho do comprimento do muro externo:
8120 - 5320 = 2800; Logo, M = 2800.

O trajeto do primeiro dia pode ser descrito como M + L + m = 5320, e do segundo dia temos 2*M + L + m = 8120. Substituindo M em qualquer uma das fórmulas obtemos:
L + m = 2520

Tendo isso em mãos, precisamos de mais uma relação para podermos encontrar o L. Para isso podemos usar o raio das circunferências.
Sabemos que o comprimento é igual a 2 vezes pi vezes o raio, logo:
M = 2*$\pi$*R => 2800 = 2*3,14*R => R = 445,879
Então temos que o raio do muro externo é aproximadamente 446 passos.

Sabemos que a ponte liga o muro externo ao interno, então podemos afirmar que a diferença entre os raios dos muros é o mesmo que o tamanho da ponte, ou seja:
R - r = L

Pela mesma fórmula, podemos substituir o r em função de m na fórmula, e trocar o R pelo seu valor já calculado:
446 - $( \frac{m}{2 \pi } )$ = L

encaixando L + m = 2520, ou seja, m = 2520 - L, temos que:
L + $\frac{(2520 - L)}{2 \pi }$ = 446
$L(2 \pi -1) = 446 * 2 \pi - 2520$
$L(2 \pi -1) = 2800 - 2520$
$L = \frac{280}{(2 \pi -1)}$
L = 52,99

Logo, L = 53.

Pode-se concluir que a largura L do fosso é igual a 53 passos.

Answer 2

Resposta:

O perímetro do muro externo em vermelho tem a largura horizontal de 4L e largura vertical de 4L, mais todo o perímetro do muro interno. Portanto,

Perímetro do muro externo = P + 8.L

Então, teremos para o primeiro dia, o seguinte trajeto do senhor feudal:

P + 8L + L + P = 5320 ( I )

E para o segundo dia:

2 (P + 8L) + L + P = 8120 ( II )

Subtraindo II com I, teremos:

2P + 16L + L + P = 8120

P + 8L + L + P = 5320

3P + 17L = 8120

2P + 9L = 5320

P + 8L = 2800

Isolando P, teremos:

P = 2800 - 8L

Substituindo em 3P + 17L = 8120

3(2800 - 8L) + 17L = 8120

8400 - 24L + 17L = 8120

-7L = -280

7L = 280

L = 280/7

L = 40

Portanto, a largura do fosso vale 40.

ALTERNATIVA B