Um semicirculo de área 321 m² gira em torno de seu
diâmetro obtendo-se, assim, um sólido de revolução.
Em seguida, um plano intercepta esse sólido de re-
volução a 4 m do seu centro obtendo-se uma secção
circular. Nessas condições, determine:
a) a medida do raio, em metros, do sólido de revolução
obtido.
b) a área da superfície do sólido de revolução.
c) a área da secção circular obtida após a intersecção
com o plano, em metros quadrados.
Soluções para a tarefa
Resposta:
a) 8 m²
b) 256π m²
c) 48π m²
Explicação passo-a-passo:
A) Para saber a medida do raio, usando a área do semicírculo, é só fazer uma operação inversa com a fórmula de área de círculo ( A = π • r² )
32π m² é a área do semicírculo, ou seja, o círculo inteiro, tem o dobro dessa área, 64π m²...
64π = π • r²
64 = r²
√64 = r
r = 8
B) A área de uma esfera, se dá pela fórmula: 4π • r²
A = 4π • r²
A = 4π • 8²
A = 4π • 64
A = 4π • 64
A = 256π m²
C) O plano intersecta o sólido a 4m de distância do centro, formando um triângulo retângulo, portanto, podemos usar Pitágoras. Imagine que o raio da esfera é a hipotenusa, o raio da circunferência formada pela intersecção do plano (x) é um cateto e a altura do triângulo é o outro cateto, que mede 4m.
8² = 4² • x²
64 = 16 • x²
x² = 64 - 16
x² = 48
x = √48
x = 4√3
Sabendo o raio da circunferência formada pela intersecção do plano, podemos usar a fórmula de área de circunferência para determinar sua área.
A = π • r²
A = π • 4√3²
A = π • 16 • 3
A = 48π m²