Question

Um retângulo tem perímetro igual a 16 cm e cada uma de suas diagonais mede 6 cm. Determine as medidas de seus lados. Justifique sua resposta.

Answer 1

[fórmulas]

$bhaskara = \boxed{\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}}$

$P.retangulo = \boxed{2a+2b}$

$T.Pitagoras = \boxed {c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

[1º Passo]

Definir "a" ou "b".

$\boxed{P= a2+2b}$

$P = 16$

Então, temos

$\boxed{16= a2+2b}$

Simplificando por 2 em ambos os lados:

$\boxed{8= a+b}$

Esse será o valor de um dos lados:
$\boxed{a= 8-b}$

[2º passo]

Como as diagonais tem o mesmo valor, então podemos corta-lo ao meio criando dois triângulos retângulos.

Como se trata de um triângulo retângulo, então, podemos usar o Teorema de Pitágoras.

$\boxed {c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Agora é só substituir pelo lado que já definimos, $\boxed {a = 8-b}$ e pela diagonal ( A diagonal por ser o lado maior é a Hipotenusa, portanto será "c").

$\boxed {6^{2}=(8-b)^{2}+b^{2}}$

Antes de resolver, é preciso entender como desenvolver (8 - b)² ( trata-se de um produto notável, que são exceções na matemática ).

$\boxed{(a-b)^{2}= a^{2} - 2ab + b^{2}}$

Então, 

$(8 - b)^{2} = 8^{2}-2*8*b+b^2$

$(8 - b)^{2} = 64-16b+b^2$

Agora vamos substituir lá na equação anterior,

$\boxed {6^{2}=(8-b)^{2}+b^{2}}$

$\boxed {6^{2}=64-16b+b^2+b^{2}}$

Resolvendo,

$36=64-16b+2b^{2}$

$64-16b+2b^{2} = 36$

$64-36 - 16b+2b^{2} = 0$

$28 - 16b+2b^{2} = 0$

Organizando,

$2b^{2} -16b +28 = 0$

Simplificando por 2,

$b^{2} -8b+14 = 0$

[3º Passo]

Agora vamos usar o delta,

$\boxed{\Delta = b^{2}-4ac}$

$b^{2} -8b+14 = 0$

A = 1, B = (-8), C = 14

$\Delta = (-8)^{2}-4*1*14$

$\boxed {\Delta = 8}$

Substituindo na fórmula de Bhaskara,

$Bhaskara = \boxed {\frac{-b \mp \sqrt{\Delta}}{2*a}}$

$\boxed {\frac{-(-8) \mp \sqrt{8}}{2*1}}$

($\sqrt{8} = \sqr{2*2*2} = \sqrt{2^{2}*2} = \sqrt{2^{2}}*\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$)

$\frac{+8) \mp 4\sqrt{2}}{2}$

Simplificando, 2

$+4 \mp \sqrt{2}$

$\boxed{b' = +4 - \sqrt{2}}$

$\boxed{b' = +4 + \sqrt{2}}$


Note, b tem dois valores possíveis, quer dizer tanto b pode ser a base do triângulo como pode ser a lateral.

[4º passo]

Prova,

$P.retangulo = 2a+2b$

Substituindo por qualquer um dos valores possíveis de b, isso significa dizer que o outro valor será a, então:

$16 = 2a+2(+4 + \sqrt{2})$

$16 = 2(4 + \sqrt{2}) + 2(+4 - \sqrt{2})$

$16 = 8 + 2\sqrt{2} + 8 - 2\sqrt{2}$

$16 = 8 +8+ 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}$

$16 = 16$

Portanto a e b são,

$\boxed{a'= 4-\sqrt{2}}$
$\boxed{a''= 4+\sqrt{2}}$

e

$\boxed{b'= 4-\sqrt{2}}$
$\boxed{b''= 4+\sqrt{2}}$