Question

Um restaurante realizou uma promoção para comemorar seus 50 anos. Em uma urna foram colocados os anagramas da palavra PEIXE. O cliente, antes de pagar a conta, é convidado a retirar um anagrama dessa urna de forma aleatória. Caso o anagrama retirado comece com a letra P, o cliente não precisa pagar a conta, e se começar com a letra E, paga metade da conta.

Considerando as informações apresentadas e o conteúdo do texto-base, é correto afirmar que:

a.
A probabilidade do cliente não pagar a conta é de 1/5.

b.
A probabilidade de o cliente pagar metade da conta ou não pagar nada é a mesma.

c.
O cliente tem mais chance de não ganhar qualquer promoção do que de ganhar uma das duas.

d.
A probabilidade de o cliente pagar metade da conta é 2/3.

e.
A probabilidade de o cliente pagar a conta inteira é de 1/5.

Answer 1

$P_{(n)_{(r_x)}} \ = \ \frac{n!}{r_x!} \ \longrightarrow \\ \\ P_{(n)_{(r_x)}} \ \Rightarrow \ Permuta\c{c}\~ao \ de \ n \ elementos \ com \ r_x \ repeti\c{c}\~oes.$

$C_{(n,p)} \ / \ C^p_n \ = \ \frac{n!}{(n \ - \p)! \ \cdot \ p!} \ \rightarrow \\ \\ C_{(n,p)} \ / \ C^p_n \ \rightarrow \ Combina\c{c}\~ao \ de \ n \ elementos \ em \ p \ vagas.$

$Vamos \ calcular \ o \ total \ T \ de \ anagramas \ da \ palavra \ PEIXE : \\ \\ \rightarrow \ n \ = \ 5 \ letras; \\ \\ \rightarrow \ Duas \ repeti\c{c}\~oes \ de \ E \ a \ terem \ suas \ permuta\c{c}\~oes \ descontadas \ \dots \\ \\ T \ = \ \frac{5!}{2!} \ \rightarrow \ \frac{120}{2} \ = \ \boxed{60 \ anagramas}$

$Agora \ temos \ casos \ \dots \\ \\ \Rightarrow \ Caso \ o \ anagrama \ inicie \ com \ 'P' \ \rightarrow \\ \\ Vamos \ fixar \ \bold{P} \ na \ primeira \ posi\c{c}\~ao. \\ Os \ outros \ 4 \ elementos \ (E,E,I,X) \ podem \ ser \ permutados \\ com \ a \ ressalva \ de \ que \ h\'a \ 2 \ repeti\c{c}\~oes \ de \ E \ \longrightarrow \\ \\ \underbrace{1}_{P \ fixado} \ \cdot \ \underbrace{\frac{4!}{2!}}_{permuta \ dos \ outros \ eleventos} \ = \ \boxed{12 \ anagramas}$

$A \ probabilidade \ para \ que \ tiremos \ 1 \ anagrama \ em \ que \ P \ seja \\ o \ in\'icio \ \'e \ a \ combina\c{c}\~ao \ de \ n \ = \ 12 \ anagramas \ em \ p \ = \ 1 \ vaga$$sobre \ a \ combinac{c}\~ao \ de \ n \ = \ 60 \ anagramas \ totais \ em \ p \ = \ 1 \ vaga : \\ \\ p \ = \ \frac{C^1_{12}}{C^1_{60}} \ \rightarrow \\ \\ p \ = \ \frac{\frac{12!}{11! \ \cdot \ 1!}}{\frac{60!}{59! \ \cdot \ 1!}} \ \rightarrow \\ \\ p \ = \ \frac{12}{60} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{p \ = \ \frac{1}{5} \ de \ se \ tirar \ um \ anagrama \ com \ P \ no \ come\c{c}o!}}$

$\Rightarrow \ Caso \ o \ anagrama \ inicie \ com \ 'E' \ \rightarrow \\ \\ Vamos \ \bold{fixar} \ E \ na \ primeira \ vaga. \ Os \ outros \ 4 \ elementos \\ \bold{n\~ao \ repetidos} \ [E,I,P,X] \ podem \ ser \ permutados \ livremente. \\ \\ \underbrace{1}_{E \ fixado} \ \cdot \ \underbrace{\frac{4!}{0!}}_{Permuta\c{c}\~oes \ livres \ dos \ outros \ elementos} \ = \ \frac{24}{1} \ = \ \boxed{24}$

$A \ probabilidade \ para \ que \ tiremos \ 1 \ anagrama \ em \ que \ E \ seja \\ o \ in\'icio \ \'e \ a \ combina\c{c}\~ao \ de \ n \ = \ 24 \ anagramas \ em \ p \ = \ 1 \ vaga$$sobre \ a \ combinac{c}\~ao \ de \ n \ = \ 60 \ anagramas \ totais \ em \ p \ = \ 1 \ vaga : \\ \\ p' \ = \ \frac{C^1_{24}}{C^1_{60}} \ \rightarrow \\ \\ p' \ = \ \frac{\frac{24!}{23! \ \cdot \ 1!}}{\frac{60!}{59! \ \cdot \ 1!}} \ \rightarrow \\ \\ p' \ = \ \frac{24}{60} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{p' \ = \ \frac{2}{5} \ de \ se \ tirar \ um \ anagrama \ com \ E \ no \ come\c{c}o!}}$

$Logo, \ juntando \ esses \ \bold{eventos \ independentes} \ : \\ \\ p \ + \ p' \ + \ p'' \ = \ 1 \ (probabilidade \ m\'axima) \ \rightarrow \\ \\ \frac{1}{5} \ + \ \frac{2}{5} \ + \ p'' \ = \ 1 \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{p'' \ = \ \frac{2}{5}}} \ \Rightarrow \ Probabilidade \ de \ outros \ eventos \ n\~ao \ considerados!$

$Como \ quando \ se \ tira \ um \ que \ se \ come\c{c}a \ por \ P, \ n\~ao \ se \ paga, \\ ent\~ao \ a \probabilidade \ para \ isso \ \'e \ p \ = \ \frac{1}{5}. \\ \\ Como \ quando \ se \ tira \ um \ que \ se \ come\c{c}a \ por \ E, \ paga-se \ a \ metade, \\ ent\~ao \ a \probabilidade \ para \ isso \ \'e \ p' \ = \ \frac{2}{5}.$

$A \ probabilidade \ de \ se \ n\~ao \ ganhar \ pr\^emios \'e \ p'' \ = \ \frac{2}{5}. \\ \\ \boxed{\boxed{p' \ = \ p'' \ = \ \frac{2}{5}}}$

$\bold{Com \ essas \ informa\c{c}\~oes, \ a \ alternativa \ \boxed{'a.'} \ \'e \ a \ verdadeira.}$