Question

Um reservatório cilíndrico de altura 10m e diâmetro 4m está inicialmente vazio. No instante t=0 ele passa a receber água a uma taxa constante de π/15 L/min.
a) Determine a função que relaciona o volume v de água, em litros, no reservatório com o tempo t em horas.
b) Determine a função que relaciona a altura h, em metros, de água no reservatório com o tempo t em horas.
c) Determine o tempo total, e horas, necessários para encher totalmente o tanque.

Answer 1

a) Temos que mudar a taxa de L/min para L/hora.

π/15 L -------- 1 min

X -------------- 60 min

X = 60×π/15

X = 4π L

A função do volume em relação ao tempo é:

V(t) = 4π L/h

b) A taxa é de 4π L/h. Sabemos que 1 L é 1 dm³. Logo, temos um volume por hora de 4π dm³.

A equação do volume do cilindro é:

V = π.r².h

Substituindo o V...

4π = π.r².h

h = 4π/π.r²

h = 4/r²

Se o diâmetro é 4, o raio é 2.

h = 4/(2)²

h = 4/4

h = 1

Então, nessé volume de 4π, a altura é 1 dm.

h(t) = 1 dm/h

c)

Vtotal = π.r².h

Vtotal = π.2².10

Vtotal = π.4.10

Vtotal = 40π

O volume total também é a taxa vezes o tempo para encher o tanque.

Vtotal = 4π×t

40π = 4π×t

t = 40π/4π

t = 10 horas