Question

Um relógio de cucu, em que o cucu pesa 200g, vibra horizontalmente sem atrito no extremo de uma mola horizontal, para a qual k=7N/m. O cucu fechado no relógio está a 5cm da sua posição de equilíbrio. Determine: a) A sua velocidade máxima. b) A sua velocidade quando está a 3cm da sua posição de equilíbrio. c) Qual é o valor da aceleração em cada um dos casos anteriores?

Answer 1

A energia potencial elástica armazenada pela mola quando o cuco está fechado é:

$\displaystyle{U_e=\frac{1}{2}kx^2}$

$\displaystyle{U_e=\frac{1}{2}\cdot7\cdot0.05^2}$

$\displaystyle{U_e=0.00875}$ Joules

Quando o cuco passar pela posição de equilíbrio ele terá convertido toda sua energia potencial elástica em energia cinética e por isso terá a maior velocidade possível.

Com isso temos que sua velocidade será:

$\displaystyle{K=\frac{1}{2}mv^2=0.00875}$

$\displaystyle{\frac{1}{2}\cdot0.2\cdot v^2=0.00875}$

$\displaystyle{v^2=0.0875}$

$\displaystyle{v=\pm 0.2958}$

O sinal de $\pm$ indica que o cuco pode estar tanto voltando pra dentro do relógio ou saindo para fora, dependendo de qual direção nós tomamos como positiva. Nesse caso tomaremos o módulo da velocidade e com isso a velocidade máxima do cuco será de $0.2958$ m/s

Quando o cuco estiver a 3 cm da posição de equilíbrio, ele irá possuir tanto energia potencial elástica quanto energia cinética.

Pela lei da conservação de energia, a energia mecânica total do sistema se conserva. Nesse caso, a soma da energia cinética com a energia potencial elástica em qualquer ponto da trajetória do cuco deverá ser constante.

Na posição quando o cuco está fechado foi calculado que a energia potencial elástica do cuco é de $U_e=0.00875$ Joules. Como neste caso ele está parado, não há energia cinética o que significa que a energia mecânica total do sistema é de $0.00875$ Joules.

Com isso nós temos, na posição de 3 cm fora da posição de equilíbrio:

$\displaystyle{E=U + K}$

$\displaystyle{E=\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}mv^2}$

$\displaystyle{0.00875=\frac{1}{2}\cdot7\cdot 3^2+\frac{1}{2}\cdot0.2\cdot v^2}$

$\displaystyle{0.00875=\frac{1}{2}\cdot7\cdot 0.03^2+\frac{1}{2}\cdot0.2\cdot v^2}$

$\displaystyle{0.0175=0.0063+0.2\cdot v^2}$

$\displaystyle{0.2\cdot {v}^{2} = 0.0112 ‬}$

$\displaystyle{ {v}^{2} = 0.056‬ }$

$\displaystyle{v^2=\pm 0.2366}$

Novamente o sinal de $\pm$ indica que o cuco pode estar voltando para dentro do relógio ou saindo. Isso depende de qual direção tomamos como positiva. Neste caso vamos usar apenas o módulo. a velocidade na posição de 3 cm é de $0.2366$ m/s

A aceleração em cada um dos casos pode ser obtida igualando a lei de Hooke à lei de Newton:

$\displaystyle{ma=-kx}$

Na posição com o relógio fechado temos:

$\displaystyle{0.2a=-7\cdot0.05}$

$\displaystyle{a=-1.75}$

A aceleração é de $-1.75$ m/s² e é negativa justamente porque ela se opõe ao movimento do cuco, desacelerando-o. Isso porque a força elástica é uma força restauradora e sempre se opõe ao movimento do corpo.

Na posição 3 cm a aceleração será de:

$\displaystyle{0.2a=-7\cdot0.03}$

$\displaystyle{a=-1.05}$

A aceleração é de $-1.05$ m/s² e, novamente, é negativa justamente porque ela se opõe ao movimento do cuco, desacelerando-o.