Question

Um recipiente com formato de um cilindro circular reto, aberto em cima, deve ter a capacidade de 375π cm ³
.
O custo do material usado para a base do recipiente é R$0,15 por centímetro quadrado.
O custo do material usado na lateral é de R$0,05 por centímetro quadrado.
No processo de fabricação não há perda de material.
Baseado no que é descrito acima,

a) Expresse o custo para a fabricação do recipiente em função do raio e da altura do cilindro.

b) Expresse o custo para a fabricação do recipiente em função de uma única variável, explicitando
seu domínio.

c) Determine as dimensões do recipiente que minimizarão o custo do material para produzi-la.

Answer 1

a) Considere o raio como "r" e a altura como "h". Assim sendo, o custo total será a soma das áreas das duas bases com a área lateral.

Abase = 2 . π.r² cm²

Vb = Valor da base = 0,15 . 2 . π.r²  = 0,3.π.r² reais.

Alateral = 2.π.r.h cm²

Va = Valor da área lateral = 0,05 . 2.π.r.h = 0,1.π.r.h reais.

Custo Total = Vb + Va => 0,3π.r² + 0,1.π.r.h => 0,1.π.r(3.r + h) reais

b) Capacidade é o mesmo de volume. Como ela será V =  375π cm ³, então o produto da área da base pela altura resulta nesse valor.

Ab.h = 375π

π.r².h = 375.π

r².h = 375

h = 375/r²

O domínio é:

Vamos substituir h por esse valor na expressão do custo, obtida na letra A).

C(r) = Custo Total = 0,1.π.r.(3.r+375/r²)

O domínio desse custo será composto por todos os reais positivos, pois a divisão por 0 é uma indeterminação matemática e não se aceitam valores de r negativos (inaceitável na realidade).

D(C) = IR₊*

c) Para minimizar o custo, devemos achar o ponto de mínimo local da função do custo (C(r)). Fazer isso é tão simples quanto utilizar o teste da primeira derivada.

C(r) = 0,3.π.r² + 37,5.π/r

C'(r) = 0,6.π.r - 37,5.π/r²       (Primeira Derivada)

Igualando a 0:

0 = 0,6.π.r - 37,5.π/r² => 0,6.π.r = 37,5.π/r²

0,6.r = 37,5/r² => 0,6.r³ = 37,5

r³ = 62,5 => r = ∛(62,5)

r = 3,9685 cm

⇒ Estudo do sinal:

( - ) ---- (3,96) ---- ( + )

Como a função é decrescente antes de x ≈ 3,97 e crescente após esse valor, o ponto é um mínimo local. Isso é justamente o que queremos para o custo.

Dimensões: Raio = 3,968 cm

                    Altura = 375 / (3,968)² ≈ 23,8 cm

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

A) Se o raio da base é r  e o cilindro tem altura h, então a área da base e a área lateral são dadas respectivamente por:

                                       Ab = π.r² e Al = 2.π.r.h

Logo, o custo para a fabricação, em função do raio da altura é dado por:

                                       C = 15.Ab + 5. Al  

                                      C = 15π.r² + 10π.r.h

B) O custo C, depende do raio da base e de sua altura, expressando em função de uma variável:

temos uma restrição, seu volume que é V = 375πcm³, vamos isolar uma variável

π.r².h = 375π

h = 375π / π.r²

h = 375 / r²

Substituindo no custo C, em função do raio (r)

C = π. (15r² + 10r.(375 / r²))

portanto o custo para a fabricação em função do raio r é:

                            C (r)= π. (15r² + 3750 / r), r > 0.

C) Sendo C derivável em todo seu domínio..temos que

C' = π . (30r - 3750 / r²)

fazendo C' = 0, temos ⇒ 30r = 3750/r²

r³ = 3750/ 30

r³ = 125

r = ∛125

r = 5  

e sendo r = 5, seu ponto crítico, vamos verificar se é ponto de mínimo, aplicando a segunda derivada.

C" (r) =  π . (30 + 7500 / r³)

C"(5) =  π . (30 + 7500 / 125) , > 0

Caracterizando assim, um ponto de mínimo.

E as dimensões que minimizarão o custo C são r = 5cm e h = 15cm

sendo seu menor custo

C = 15π.r² + 10π.r.h

C = 15π.5² + 10π.5.15

C =  375π + 750π

C(5) = 1125π centavos