Question

um quadrilátero ABCD pode ser separado em dois triângulos retângulos ABD e BCD , sendo que BCD é isósceles , conforme representado na figura . AF é a altura relativa a hipotenusa de ABD e CE e a altura relativa a hipotenusa de BCD . Determine a medida dos seguimentos :

a) BD b) BC c) DF d) BE e) BF f) CE g) AF h) FE

Answer 1

Um quadrilátero ABCD pode ser separado em dois triângulos retângulos ABD e BCD , sendo que BCD é isósceles , conforme representado na figura . AF é a altura relativa a hipotenusa de ABD e CE e a altura relativa a hipotenusa de BCD . Determine a medida dos seguimentos : 
a) BD b) BC c) DF d) BE e) BF f) CE g) AF h) FE

Answer 2

a) BD = ?

Como o triângulo ABD é retângulo em A, o segmento BD é a hipotenusa desse triângulo. Assim, usando Pitágoras, temos:

BD² = 60² + 45²

BD² = 3600 +  2025

BD² = 5625

BD = √5625

BD = 75 cm

b) BC = ?

Como o triângulo BCD é isósceles, os segmentos BC e CD têm a mesma medida. Representando esses segmentos por a, temos:

a² + a² = BD²

a² + a² = 75²

2a² = 5625

a² = 5625/2

a² = 2812,5

a = √2812,5

a = 53,03 cm

BC = 53,03 cm

c) DF = ?

Representando o segmento BF por b, temos que:

DF = 75 - b

No triângulo ABF, temos:

h₁² + b² = 45²

h₁² + b² = 2025

No triângulo ADF, temos:

h₁² + (75 - b)² = 60²

h₁² + 5625 - 150b + b² = 3600

h₁² + b² - 150b = 3600 - 5625

h₁² + b² - 150b = - 2025

Então:

2025 - 150b = - 2025

- 150b = - 2025 - 2025

- 150b = - 4050

150b = 4050

b = 4050/150

b = 27

Agora, calculamos a medida DF.

DF = 75 - b

DF = 75 - 27

DF = 48 cm

d) BE = ?

Para calcularmos a medida BE, temos que saber a medida da altura h₂.

Como o triângulo BCD é isósceles, sua altura é dada por:

h = √L² - b²/4

h₂ = √√2812,5² - 75²/4

h₂ = √2812,5 - 1406,25

h₂ = √1406,25

h₂ = 37,5

Usando Pitágoras, calculamos a medida BE.

BE² + h₂² = a²

BE² + 37,5² = √2812,5²

BE² + 1406,25 = 2812,5

BE² = 2812,5 - 1406,25

BE² = 1406,25

BE = √1406,25

BE = 37,5 cm

e) BF = ?

A medida de BF é igual a medida b, que já calcularmos anteriormente. Logo:

BF = b

BF = 27 cm

f) CE = ?

A medida CE é igual a medida h₂, que já foi calculada. Logo:

CE = h₂

CE = 37,5 cm

g) AF = ?

A medida AF é igual a medida h₁, cuja fórmula já temos:

h₁² + b² = 2025

Basta substituirmos o valor de b.

h₁² + 27² = 2025

h₁² + 729 = 2025

h₁² = 2025 - 729

h₁² = 1296

h₁ = √1296

h₁ = 36 cm

AF = 36 cm

h) FE = ?

A medida FE é a diferença entre a medida BE e a medida b. Logo:

FE = BE - b

FE = 37,5 - 27

FE = 10,5 cm