Question

Um quadrado e um triangulo equilatero tem o mesmo perimetro. Sendo h a medida da altura do triangulo e d a medida da diagonal do quadrado, determine o valor da razao h/d?

Answer 1

O quadrado possui quatro lados iguais. Chamamos cada lado de l. Assim, o perímetro do quadrado é:

$l + l + l + l = 4l$

O triângulo equilátero possui três lados iguais. Vamos chamar cada lado e de x. Assim o perímetro do triângulo equilátero é:

$x + x + x = 3x$

Como ambos têm o mesmo perímetro, então:

$4l = 3x\\ \\ l = \dfrac{3x}{4}$


A diagonal do quadrado é a hipotenusa 'd' de um triângulo retângulo de catetos 'b' = l  e 'c' = l. Assim temos, pelo Teorema de Pitágoras:

$d^{2} = l^{2} + l^{2}\\ \\ d^{2} = 2l^{2}\\ \\ \sqrt{d^{2}}=\sqrt{2l^{2}}\\ \\ d = l\sqrt{2}$

Como l = 3x/4, então:

$d = \dfrac{3x}{4}\cdot\sqrt{2}=\dfrac{3x\sqrt{2}}{4}$


No triângulo equilátero ABC a altura h é o segmento que parte do vértice A e divide o lado BC em duas partes iguais, ou seja, duas partes iguais a x/2, já que cada lado do triângulo mede x.

Assim, podemos calcular a altura h pelo teorema de Pitágoras, onde onde a hipotenusa é o lado x, um dos catetos é a altura h e o outro cateto é x/2.

Portanto,

$x^{2} = h^{2} + \left(\dfrac{x}{2}\right)^{2}\\ \\ \\ x^{2} = h^{2} + \dfrac{x^{2}}{4}\\ \\ \\ h^{2}=x^{2} - \dfrac{x^{2}}{4}\\ \\ \\ h^{2}=\dfrac{4x^{2}-x^{2}}{4}\\ \\ \\ h^{2}=\dfrac{3x^{2}}{4}\\ \\ \\ \sqrt{h^{2}}= \sqrt{\dfrac{3x^{2}}{4}}\\ \\ \\ h= \dfrac{\sqrt{3x^{2}}}{\sqrt{4}}\\ \\ \\ h=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$


Assim, a razão h/d é:

$\dfrac{h}{d}=\dfrac{\dfrac{x\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{3x\sqrt{2}}{4}}\\ \\ \\ \dfrac{h}{d}=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{4}{3x\sqrt{2}}\\ \\ \\ \dfrac{h}{d}=\dfrac{4x\sqrt{3}}{6x\sqrt{2}}\Rightarrow \dfrac{\not 4\not x\sqrt{3}}{\not 6\not x\sqrt{2}}\\ \\ \\ \dfrac{h}{d}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}\Rightarrow \dfrac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\Rightarrow \dfrac{2\sqrt{3\cdot 2}}{3\sqrt{2\cdot 2}}\Rightarrow \dfrac{2\sqrt{6}}{3\sqrt{4}}\Rightarrow$

$\dfrac{h}{d}= \dfrac{2\sqrt{6}}{3\cdot 2}\Rightarrow \dfrac{2\sqrt{6}}{6}\Rightarrow \dfrac{\not 2\sqrt{6}}{\not 6}\Rightarrow \dfrac{\sqrt{6}}{3}$


Portanto, a razão h/d é:

$\dfrac{h}{d}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$