Um quadrado deve ser construído sobre a hipotenusa a de um triângulo retângulo de catetos b e c, conforme representado na figura.
Sabendo que b+c= 10cm , determine a, b e c, para que a área desse quadrado seja mínima.
Soluções para a tarefa
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Pelo Teorema de Pitágoras
.
Temos que,
, elevando os dois lados ao quadrado:
![(b+c)^2=10^2 \iff b^2+2bc+c^2 = 100 (b+c)^2=10^2 \iff b^2+2bc+c^2 = 100](https://tex.z-dn.net/?f=%28b%2Bc%29%5E2%3D10%5E2+%5Ciff+b%5E2%2B2bc%2Bc%5E2+%3D+100)
Substituindo
por
, obtemos:
![a^2+2bc =100 \iff a^2 = 100-2bc a^2+2bc =100 \iff a^2 = 100-2bc](https://tex.z-dn.net/?f=a%5E2%2B2bc+%3D100+%5Ciff+a%5E2+%3D+100-2bc)
Assim, a área do quadrado construído,
será mínima quando
for máximo.
O maior valor de
com
é
, com
.
Seja
. De
, obtemos
, substituindo:
![y=bc \iff y=(10-c)c \iff y=-c^2+10c y=bc \iff y=(10-c)c \iff y=-c^2+10c](https://tex.z-dn.net/?f=y%3Dbc+%5Ciff+y%3D%2810-c%29c+%5Ciff+y%3D-c%5E2%2B10c)
O maior valor de
é:
![y_v =\dfrac{-\Delta}{4a}=\dfrac{-(10^2-4\cdot(-1)\cdot0)}{4(-1)} y_v =\dfrac{-\Delta}{4a}=\dfrac{-(10^2-4\cdot(-1)\cdot0)}{4(-1)}](https://tex.z-dn.net/?f=y_v+%3D%5Cdfrac%7B-%5CDelta%7D%7B4a%7D%3D%5Cdfrac%7B-%2810%5E2-4%5Ccdot%28-1%29%5Ccdot0%29%7D%7B4%28-1%29%7D)
![y_v=\dfrac{-100}{-4} \iff y_v=25 y_v=\dfrac{-100}{-4} \iff y_v=25](https://tex.z-dn.net/?f=y_v%3D%5Cdfrac%7B-100%7D%7B-4%7D+%5Ciff+y_v%3D25)
Assim
![a^2=5^2+5^2 \iff a^2=25 + 25 \iff a^2=50 a^2=5^2+5^2 \iff a^2=25 + 25 \iff a^2=50](https://tex.z-dn.net/?f=a%5E2%3D5%5E2%2B5%5E2+%5Ciff+a%5E2%3D25+%2B+25+%5Ciff+a%5E2%3D50)
![a=\sqrt{50} \iff a=2\sqrt{5} a=\sqrt{50} \iff a=2\sqrt{5}](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D%5Csqrt%7B50%7D+%5Ciff+a%3D2%5Csqrt%7B5%7D)
Portanto,
e
centímetros
Temos que,
Substituindo
Assim, a área do quadrado construído,
O maior valor de
Seja
O maior valor de
Assim
Portanto,
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