Matemática, perguntado por vanessamikaeli, 1 ano atrás

Um quadrado deve ser construído sobre a hipotenusa a de um triângulo retângulo de catetos b e c, conforme representado na figura.

Sabendo que b+c= 10cm , determine a, b e c, para que a área desse quadrado seja mínima.

Soluções para a tarefa

Respondido por robertocarlos5otivr9
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Pelo Teorema de Pitágoras a^2=b^2+c^2.

Temos que, b+c=10, elevando os dois lados ao quadrado:

(b+c)^2=10^2 \iff b^2+2bc+c^2 = 100

Substituindo b^2+c^2 por a^2, obtemos:

a^2+2bc =100 \iff a^2 = 100-2bc

Assim, a área do quadrado construído, a^2 será mínima quando bc for máximo.

O maior valor de bc com b+c=10 é 25, com b=c=5.

Seja y=bc. De b+c=10, obtemos b=10-c , substituindo:

y=bc \iff y=(10-c)c \iff y=-c^2+10c

O maior valor de y é:

y_v =\dfrac{-\Delta}{4a}=\dfrac{-(10^2-4\cdot(-1)\cdot0)}{4(-1)}

y_v=\dfrac{-100}{-4} \iff y_v=25

Assim

a^2=5^2+5^2 \iff a^2=25 + 25 \iff a^2=50

a=\sqrt{50} \iff a=2\sqrt{5}

Portanto, a=2\sqrt{5} e b=c=5 centímetros
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