Question

um quadrado de área 12 cm² está inscrito numa circunferência .
A razão entre o perímetro do quadrado e o perímetro da circunferência é igual a:

A) √2/π B) π√2/8 C)4√3/3π D)2√2

Answer 1

Resposta:

A razão vale 2√2/π.

Explicação passo-a-passo:

Se a área desse quadrado vale 12 cm², então seus lados medem:

L = √12

L = √4.3

L = √4 . √3

L = 2√3 cm

As diagonais desse quadrado são exatamente diâmetros da circunferência. Sabemos que, num quadrado, a diagonal é calculada através de:

d = L√2

Como o lado, já calculado, mede 2√3 cm, então a diagonal mede:

d = L√2

d = 2√3.√2

d = 2√6 cm

Logo, o raio da circunferência é a metade da medida da diagonal do quadrado, ou seja:

r = 2√6/2

r = √6 cm

Cálculo do perímetro do quadrado:

Como o lado do quadrado mede 2√3 cm, então seu perímetro é:

P = 4.2√3

P = 8√3 cm

Cálculo do comprimento da circunferência:

C = 2πr

C = 2π.√6

C = 2√6π cm

Finalmente, vamos calcular a razão entre os perímetros do quadrado e da circunferência:

$r = \frac{8 \sqrt{3} }{2 \sqrt{6} \pi} \\ r = 4 \frac{ \sqrt{ \frac{3}{6} } }{\pi} \\ r = 4 \frac{ \sqrt{ \frac{1}{2} } }{\pi} \\ r = \frac{4}{\pi} . \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ r = \frac{4}{ \sqrt{2} } . \frac{1}{\pi} \\ r = \frac{4 \sqrt{2} }{ \sqrt{2} . \sqrt{2} } . \frac{1}{\pi} \\ r = \frac{4 \sqrt{2} }{ \sqrt{4} } . \frac{1}{\pi} \\ r = \frac{4 \sqrt{2} }{2} . \frac{1}{\pi} \\ r = 2 \sqrt{2} . \frac{1}{\pi} \\ r = \frac{2 \sqrt{2} }{\pi}$