Question

Um projeto paisagístico em um parque prevê que 16.376 mudas de certa espécie vegetal sejam plantadas nas regiões R1, , R2, R3, ..., Rn, de modo que o número de mudas plantadas na região Rn (n sendo maior ou igual a 2) seja o dobro do número de mudas plantadas na região Rn - 1. Na região R3 foram plantadas 32 mudas. Quantas mudas serão plantadas na última região?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Trata-se de uma PG de razão 2

• Primeira região

$\sf a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

$\sf a_3=a_1\cdot q^2$

$\sf 32=a_1\cdot2^2$

$\sf 32=a_1\cdot4$

$\sf a_1=\dfrac{32}{4}$

$\sf a_1=8$

• Soma

A soma dos n primeiros termos de uma PG é dada por:

$\sf S_n=\dfrac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}$

$\sf \dfrac{8\cdot(2^n-1)}{2-1}=16376$

$\sf \dfrac{8\cdot2^{n}-8}{1}=16376$

$\sf 8\cdot2^{n}-8=16376$

$\sf 8\cdot2^{n}=16376+8$

$\sf 8\cdot2^{n}=16384$

$\sf 2^{n}=\dfrac{16384}{8}$

$\sf 2^{n}=2048$

$\sf 2^n=2^{11}$

Igualando os expoentes:

$\sf n=11$

• Última região

$\sf a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

$\sf a_{11}=a_1\cdot q^{10}$

$\sf a_{11}=8\cdot2^{10}$

$\sf a_{11}=8\cdot1024$

$\sf a_{11}=8192$ plantas

Answer 2

Da progressão geométrica, a quantidade de mudas que serão plantadas na região 11 é igual a 8192 mudas.

Progressão geométrica

Uma progressão geométrica é uma sequência numérica no qual um número, ou também chamado de termo, é calculado a partir do produto entre o seu antecessor e uma razão, ou ainda pela seguinte fórmula do termo geral:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

Sendo:

• an o termo de posição n
• a1 o primeiro termo.
• q a razão.

A soma de todos os termos de uma progressão aritmética é dada por:

$S=\frac{a_1\cdot (q^n-1)}{q-1}$

Afirma-se que a quantidade de mudas plantas na região n é o dobro da região (n-1), logo a quantidade de mudas obedece a uma progressão geométrica de razão igual a 2. Da fórmula do termo geral para uma quantidade de mudas da região 3 igual a 32:

$a_3=a_1\cdot q^{3-1}\\32=a_1\cdot2^2\\a_1=8$

Da fórmula da soma dos termos quando a quantidade total de mudas plantadas nestas regiões é igual a 16376:

$S=\frac{a_1\cdot (q^n-1)}{q-1}\\16376=\frac{8\cdot (2^n-1)}{2-1}\\\\2^n-1=2047\\2^n=2048\\2^n=2^{11}\\n=11$

Novamente da fórmula do termo geral para determinar a quantidade de mudas da última região (região 11):

$a_{11}=a_1\cdot q^{11-1}=8\cdot2^{10}\\a_{11}=8192 mudas$

Saiba mais sobre progressão geométrica em https://brainly.com.br/tarefa/51266539

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