Question

Um projétil é lançado do nível do chão com uma rapidez inicial de 53 m/s. Encontre o ângulo de lançamento (o ângulo que o vetor velocidade inicial forma acima da horizontal) de forma que a altura máxima do projétil seja
igual ao seu alcance horizontal. (Ignore a resistência do ar).

Answer 1

Resposta:

O movimento do projétil pode ser decomposto em dois: um movimento vertical, uniformemente variado, e um movimento horizontal, à velocidade constante.

Seja $v_y(t)$ a função horária de sua velocidade vertical. Temos:

$v_y(t) = v_0_{(y)} - gt$

Quando atinge a altura máxima, $v_y = 0.$ Calculemos o instante em que essa altura é atingida:

$0 = v_0_{(y)} - gt\\\\\Longleftrightarrow t = \frac{v_0_{(y)} }{g}.$

Calculemos a posição vertical do projétil nesse instante:

$y(t) = y_0 + v_0_{(y)}t - \frac{1}{2}gt^2\\\\\Longrightarrow y_{max} = 0 + v_0_{(y)} \cdot \frac{v_0_{(y)}}{g} - \frac{1}{2}g\cdot \left( \frac{v_0_{(y)}}{g} \right)^2\\\\\Longleftrightarrow y_{max} = \frac{ v_0_{(y)}^2}{g} - \frac{1}{2} \cdot \frac{ v_0_{(y)}^2}{g}\\\\\Longleftrightarrow y_{max} = \frac{ v_0_{(y)}^2}{2g}$

Como o projétil leva um intervalo de $t = \frac{v_0_{(y)} }{g}\,\,s$ para atingir sua altura máxima, levará o dobro do tempo para voltar ao solo.

Calculemos o alcance do projétil:

$x(t) = x_0 + v_xt\\\\\Longrightarrow x_{max} = 0 + v_x \cdot 2 \frac{v_0_{(y)}}{g}\\\\\Longleftrightarrow x_{max} = \frac{2\cdot v_x \cdot v_0_{(y)}}{g}$

Igualando a altura máxima ao alcance, temos:

$\frac{ v_0_{(y)}^2}{2g} = \frac{2\cdot v_x \cdot v_0_{(y)}}{g}\\\\\Longleftrightarrow v_0_{(y)}^2 = 4\cdot v_x \cdot v_0_{(y)}\\\\\Longleftrightarrow v_0_{(y)} = 4v_x$

Encontremos o ângulo que $v_0$ faz com o eixo x:

$\theta = arctg \frac{v_0_{(y)}}{v_x}\\\\\Longleftrightarrow \theta = arctg \frac{4v_x}{v_x}\\\\\Longleftrightarrow \theta = arctg (4)\\\\\Longleftrightarrow \boxed{\theta \approx 76\º.}$