Question

Um projétil é lançado com velocidade V0 formando um ângulo α0 com a horizontal.O ponto de lançamento está situado a uma altura h acima do solo. Desprezando aresistência do ar, prove que a distância horizontal percorrida pelo projétil antes dealcançar o solo é dada pela equação:$x(t)=\frac{Vo.cos \alpha }{g}.(Vo.sen \alpha + \sqrt{Vo^{2}.sen \alpha ^{2}-2gh) }$

Answer 1

Vai ser bem extenso .. mas vamos lá ..

Primeiro, você deve saber que o alcance é calculado da seguinte forma :

$A = \frac{ vo^{2}.Sen2 \alpha }{g}$

Mexendo um pouco ..

$A = \frac{Vo.Vo.(2.Sen \alpha .Cos \alpha )}{g}$

$A = \frac{Vo.(2.Vo.Sen \alpha .Cos \alpha )}{g}$

Sabendo que .. 

$Cos \alpha ^2 + Sen \alpha ^2 = 1 \\ Cos \alpha = \sqrt{1 - sen \alpha ^2}$

Logo :

$A = \frac{Vo.(2.Vo.Sen \alpha . \sqrt{1 - sen \alpha ^2} )}{g} \\ A = \frac{Vo.(2.Sen \alpha . \sqrt{Vo^2 - Vo^2sen \alpha ^2} )}{g}$

Desse ponto, é bom saber que irei transforma o sena = raiz de 1 - cosa^2 e que a velocidade pode ser escrita dessa forma :

$Ec = Ep \\ M.V^2/2 = m.g.h \\ V^2 = 2.g.h$


Então :

$A = \frac{Vo.(2.Sen \alpha . \sqrt{2gh - Vo^2sen \alpha ^2} )}{g} \\ A = \frac{Vo.(2. \sqrt{1 - cos \alpha ^2} \sqrt{2gh - Vo^2sen \alpha ^2} )}{g}$

Desenvolvendo as raízes a parte : 

$\sqrt{1 - cos \alpha ^2} \sqrt{2gh - Vo^2sen \alpha ^2} \\ \sqrt{2gh - Vo^2sen \alpha ^2 - cos \alpha ^2.2gh + cos \alpha ^2.Vo^2sen \alpha ^2 } \\ \sqrt{ cos \alpha ^2.( Vo^2sen \alpha ^2 - 2gh ) - Vo^2sen \alpha ^2 + 2gh}$

$\sqrt{ Cos \alpha ^2.( Vo^2sen \alpha ^2 - 2gh ) + Vo^2.( 1 - sen \alpha ^2 )} \\ \sqrt{ Cos \alpha ^2.( Vo^2sen \alpha ^2 - 2gh ) + Vo^2.Cos \alpha ^2} \\ Cos \alpha \sqrt{( 1 + Vo^2).( Vo^2sen \alpha ^2 - 2gh )}$

Voltando .. 

$A = \frac{Vo.(2.Sen \alpha . \sqrt{2gh - Vo^2sen \alpha ^2} )}{g} \\ A = \frac{Vo.(2.Cos \alpha . \sqrt{( 1 + Vo^2).( Vo^2sen \alpha ^2 - 2gh )})}{g} \\ A = \frac{Vo.Cos \alpha(2. \sqrt{( 1 + Vo^2).( Vo^2sen \alpha ^2 - 2gh )})}{g} \\ A = \frac{Vo.Cos \alpha(2. \sqrt{( 1 + Vo^2).( Vo^2sen \alpha ^2 - 2gh )})}{g}$

$A = \frac{Vo.Cos \alpha(2. \sqrt{( 1 + Vo^2).( Vo^2sen \alpha ^2 - 2gh )}}{g} \\ A = \frac{Vo.Cos \alpha(Vo.sen \alpha + \sqrt{( Vo^2sen \alpha ^2 - 2gh )})}{g} \\ A = \frac{Vo.Cos \alpha}{g}.(Vo.sen \alpha + \sqrt{( Vo^2sen \alpha ^2 - 2gh )})$

Answer 2

Em qualquer exercício de balística, observamos dois tipos de movimento:
- na vertical um MRUV, uma vez que o projétil está submetido à ação de uma força (gravidade) e, portanto, apresenta aceleração constante (g).
- na horizontal um MRU, isto é, não há força agindo nesta direção (a = 0).

Considerando que o solo é a linha das abcissas e que o projétil parte do ponto (0, h), isto é, seu movimento acontece no primeiro quadrante do plano cartesiano.

Na horizontal temos:

x(t) = xo + v.t
x(t) = 0 + v.t
x(t) = v.t

Precisamos descobrir v e t em termos de vo, α, g e h

a) cálculo de v:

v = vox = vo.cos α

b) cálculo de t:

quando o projétil atingir o solo, y(t) = 0

y(t) = yo + voyt + at²/2
0 = h + vot.(sen α) - gt²/2 
0 = 2h + 2vot.(sen α) - gt²
gt² - 2vo(sen α)t - 2h = 0  
Δ = [- 2vo(sen α)]² - 4.g.(- 2h)
Δ = 4vo².(sen α)² + 8gh
Δ = 4[vo².(sen α)² + 2gh]
t´ = - [- 2vo(sen α)]/2g + √{4[vo².(sen α)² + 2gh]}/2g
t´ = 2vo(sen α)/2g + 2√[vo².(sen α)² + 2gh]/2g
t´ = vo(sen α)/g + √[vo².(sen α)² + 2gh]/g
(observe que t" é negativo e não interessa)
Logo, t = vo(sen α)/g + √[vo².(sen α)² + 2gh]/g

Substituindo:

x(t) = v.t
x(t) = (vo.cos α).{vo(sen α)/g + √[vo².(sen α)² + 2gh]/g}
x(t) = (vo.cos α)/g.{vo(sen α) + √[vo².(sen α)² + 2gh]}.