Question

Um projétil é lançado a partir da origem e tem sua posição, em metros, monitorada pela seguinte função:$S(x) \int\limits { \frac{dx}{ \sqrt{4+ x^{2} } } }$,em que x é o tempo, em minutos, transcorrido após o seu lançamento. Desse modo, qual será aproximadamente a sua posição após 2 minutos de seu lançamento?
a) 0,88 m
b) 1,19 m
c) 1,68 m
d) 2,25 m
e) 3,20 m

Answer 1

Calcular a integral:
$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{4+x^2}} \\\\ \sqrt{x^2+4}\implies \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{1}}\tan(u)=x\implies x=2\tan(u)\\\\ \frac{dx}{du}=2\cdot \sec^2(u)\implies dx=2du\cdot \sec^2(u)\\\\\int\frac{2\sec^2(u)\,du}{\sqrt{(2\tan(u)^2+4)}}=\int\frac{2\sec^2(u)du}{\sqrt{4\tan^2(u)+4}}=\frac{2}{\sqrt4}\int\frac{\sec^2(u)\,du}{\sqrt\tan^2(u)+1}}\\\\ \frac{2}{\sqrt{4}}\int\frac{\sec^2(u)\,du}{\sqrt{\sec^2(u)}}=\frac{2}{\sqrt{4}}\int\frac{\sec^2(u)\,du}{\sec(u)}=\int{\sec(u)\,du}=$

$\ln\left(\tan(u\right)+\sec(u))\\\\u=\arctan\left(\frac{x}{2}\right)\implies \ln\left(\tan\left(\arctan\left(\frac{x}{2}\right)\right)+\sec\left(\arctan\left(\frac{x}{2}\right)\right)$
$\displaystyle \\\ln\left(\frac{x}{2}+\sqrt{\tan\left(\arctan\left(\frac{x}{2}\right)\right)+1}\right)=\ln\left(\frac{x}{2}+\sqrt{\frac{x}{2}+1}\right)+C=S(x)$
Então:
$\displaystyle S(x)=\int\frac{dx}{\sqrt{4+x^2}}=\ln\left(\sqrt{\frac{x^2}{4}+1}+\frac{x}{2}\right)+C\\\\S(x)_{0_{min}\to2_{min}}=\int^{2}_{0}\frac{dx}{\sqrt{4+x^2}}=\ln\left(\sqrt{\frac{2^2}{4}+1}+\frac{2}{2}\right)-\ln\left(\sqrt{\frac{0^2}{4}+1}+\frac{0}{2}\right)\\\\ \ln\left(\sqrt2+1\right)-\ln\left(\sqrt{0+1}+0\right)\approx 0,88-\ln1=\boxed{0,88}$