Question

um professor perguntou a seus alunos: Em qual intervalo real a função
f(x)=x² - 5x+6 é negativa?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Michael, que é bem simples.

Antes de mais nada veja que uma função da forma f(x) = ax² + bx + c, com raízes iguais a x' e x'',  terá a seguinte variação de sinais:

i) Se o termo "a" for positivo (o termo "a" é o coeficiente de x²), teremos:
f(x) > 0, para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes).
f(x) = 0, para valores de "x" iguais às raízes.
f(x) < 0, para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes).

ii) Se o termo "a" for negativo, teremos:
f(x) < 0, para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes)
f(x) = 0, para valores de "x" iguais às raízes.
f(x) > 0, para valores de "x' intrarraízes (entre as raízes).

Bem, visto os prolegômenos acima, então vamos ver qual o intervalo real da função dada, em que ela é NEGATIVA.

A função é esta:

f(x) = x² - 5x + 6 ----- veja: aplicando Bháskara, você encontrará as seguintes raízes:

x' = 2
x'' = 3

Agora note: o termo "a" é positivo (veja que o termo "a" é igual a "1", que é o coeficiente de x²).

Assim, o estudo de sinais da função dada será este, veja:

f(x) = x²-5x+6.. ++++++++(2)- - - - - - - (3)++++++++++++++

Assim, como você poderá verificar, a função será negativa entre as raízes (ela cai no caso "i" dos nossos prolegômenos, visto logo no início), ou seja:

f(x) < 0, para valores de "x" entre as raízes. Então o intervalo real em que a função é negativa será:

2 < x < 3 ------ Esta é a resposta. Este é o intervalo em que a função da sua questão é negativa.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.