Question

Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80 km e 160 km. Um dos alunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa. Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guara- tinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de (A) 80 • 2 + 5 • 3 (B) 80 • 5 + 2 • 3 (C) r~ 80- 6 (D) 80 •V5+W2 (E) 80-V 7 • V3

Answer 1

Chamando Sorocaba, Campinas, São Paulo e Guaratinguetá de A, B, C e D, respectivamente, temos um triângulo equilátero ABC e um triângulo retângulo em BCD.

Como ABC é equilátero, a medida de seus ângulos é 60º. Para descobrir a linha reta entre A e D, temos que aplicar a Lei dos Cossenos no triângulo ADC:
$AD^2=AC^2+CD^2-2(AC)(CD)cos(150) \\ AD^2 = 80^2+160^2-2*80*160*cos(150) \\ AD^2 = 6400+25600-25600* \left( -\dfrac{ \sqrt{3} }{2} \right) \\ AD^2 = 32000+12800 \sqrt{3} \\ AD^2 = 6400(5+2 \sqrt{3} ) \\ AD= \sqrt{6400(5+2 \sqrt{3} )} \\ AD = 80 \sqrt{5+2 \sqrt{3} }$

Resposta: alternativa B