Question

Um professor de educação física precisou escolher,
dentre seus alunos, uma equipe formada por dois
meninos e uma menina ou por duas meninas
e um menino. Ele observou que poderia fazer
essa escolha de 25 maneiras diferentes. Quantos
meninos e meninas são alunos desse professor?

Answer 1

Resposta:

letra C.

Explicação passo a passo:

Answer 2

O total de alunos sendo meninos e meninas é de 7

Combinação

É o estudo de um agrupamento que analisa a quantidade de formas possíveis que podemos combinar o conjunto com diversas condições pré definidas

Como resolvemos?

Primeiro: Entendendo o texto

• Duas formas de formar grupos:
• 2 meninos + 1 menina
• 2 meninas + 1 menino
• Total de 25 formas diferentes

Segundo: Escrevendo as combinações

• Como não sabemos o seu número, chamaremos:
• Meninos de "a"
• Meninas de "b"

• Assim para a primeira possibilidade: 2 meninos + 1 menina

a  (a - 1)  b

• Note que, para o primeira posição, temos "a" alunos

• Porém na segunda posição temos "a" menos o menino da primeira posição, assim: (a-1)

• E na terceira posição temos "b"

Assim para a segunda possibilidade: 2 meninas + 1 menino

b  (b - 1)  a

• Seguindo a mesma lógica da anterior
• Primeira posição das meninas é dado por "b"
• Segunda posição é dada por "b" menos a menina da primeira posição, logo (b-1)
• E na última posição o menino "a"

Terceiro: Relacionando as possibilidade

• Note que, temos a palavra "ou" entre as possibilidades
• Isso significa que teremos que somar as duas possibilidades
• Teremos:

a  (a - 1)  b  + b  (b - 1)  a = 25 combinações

Quarto: aplicando a fórmula de combinação

• A fórmula de combinação é dada por:
• $C_{n,p} = \frac{n!}{p! .(n-p)!}$

• Onde:  "n" será os meninos e meninas; e "p" será as suas repetições

Aplicando para as possibilidade:

• 2 meninos teremos:

$C_{a,2} = \frac{a!}{2! .(a-2)!} = \frac{a.(a-1).(a-2)!}{2! .(a-2)!} = \frac{a.(a-1)}{2! }$

• 2 meninas teremos

$C_{b,2} = \frac{b!}{2! .(b-2)!} = \frac{b.(b-1).(b-2)!}{2! .(b-2)!} = \frac{b.(b-1)}{2! }$

• Assim, teremos $\frac{a.(a-1)}{2! };\frac{b.(b-1)}{2! }$  possibilidades para os dois meninos e meninas para as duas primeiras posições

Quinto: Adicionando a terceira posição

• 2 meninos + 1 menina: $\frac{a.(a-1)}{2! }. (b)$
• 2 meninas + 1 menino:$\frac{b.(b-1)}{2! }.(a)$

• Somando as duas teremos:

$\frac{a.(a-1)}{2! }.(b) + \frac{b.(b-1)}{2! }.(a)= 25\\\\\frac{a^{2} -a}{2 }.(b) +\frac{bx^{2}-b}{2 }.(a)= 25\\\\\frac{b(a^{2} -a)}{2 }+\frac{a(bx^{2}-b)}{2 }= 25\\\\\frac{b(a^{2} -a)}{2 }+\frac{a(bx^{2}-b)}{2 } = 25 \\\\ba^{2} - ab + ab^{2} - ab = (25) . 2\\ba^{2} - 2ab + ab^{2} = 50$

• Deixando em evidência o "b" teremos:

$ba^{2} - 2ab + ab^{2} = 50\\b (a^{2} - 2a + ab})=50 \\ (a^{2} - 2a + ab})=\frac{50}{b}$

• Assim, teremos que ter um número de "b" sendo múltiplo de 50

Sexto: Testando o valor 2

• Note que, o valor 2 é múltiplo de 50

$(a^{2} - 2a + a2})=\frac{50}{2}\\(a^{2} })=25\\\\a=\sqrt{25} =5$

Logo usando o b=2, temos a =5

Sétimo: Testando as combinações

• Iremos usar novamente a fórmula de combinação para as duas possibilidades

• Das combinações teremos:

$\frac{5.(5-1)}{2! }.(2) = \frac{5.4}{2 }.(2)= \frac{20}{2}=10.(2)= 20$

$\frac{2.(2-1)}{2! }.(5) = \frac{2.(1)}{2}.(5) = \frac{2}{2 }.(5) =1.(5) = 5$

• Assim, ficaremos com:  

• 20 possibilidades para 2 meninos e 1 menina

• 5 possibilidades para 2 meninas e 1 menino
• No total temos as 25 possibilidades conforme o enunciado

Assim, o total de alunos é de 5 + 2 = 7 alunos

Veja essa e outras questões envolvendo combinação em: https://brainly.com.br/tarefa/45444991

#SPJ2