Um professor, apresentou a seguinte situação problema aos alunos: refere-se à maximização de seu volume de uma embalagem retangular aberta de papelão medindo 16cm por 20cm, tirando os cantos iguais e dobrando-os. O professor pediu que os alunos calculassem a parte tirada para uma capacidade de volume máxima a ser determinada. Enquanto realizava a atividade proposta, um dos alunos questionou qual era a aplicabilidade desse conteúdo. Como essa questão pode ser resolvida? Qual a aplicabilidade desse conteúdo?
1- A partir da solução qual será as dimensões da embalagem e qual seu volume, se fosse tirado 2 cm dos cantos?
2- Quais são as dimensões da caixa que maximiza o seu volume?
3- Qual é a aplicabilidade desse conteúdo?
Quero os cálculos
Soluções para a tarefa
Resposta:
6-2√(7/3)
Explicação passo-a-passo:
1: como vai tirar 2cm de cada canto, as dimensoes vao ficar: 16 -4 =12 e 20-4 =16, e quando dobrar a caixa a altura vai ser o que foi retirado de cada canto, ou seja, 2cm; entao fica: 12,16,2. volume = 12x16x2 = 384cm²
2= a formula do volume nesse caso é: (16-2x)(20-2x)x = 4x³ - 72x² + 320x;
para achar o valor maximo derivamos e igualamos a 0:
12x² -144x +320 = 0;
como tem 2 raizes, vao ser um ponto maximo e um minimo, o maximo sera o que tiver a derivada segunda (24x - 144) negativa;
As dimensões da caixa que maximiza o seu volume são 2,94 cm, 10,12 cm e 14.12 cm.
Sabemos que o papelão tem dimensões de 16 cm por 20 cm e será retirado um pedaço x de cada lado para se formar uma caixa. o volume da caixa será dado por:
V = x.(16 - 2x).(20 - 2x)
V = x.(320 - 72x + 4x²)
Nesta situação, temos:
1. Se x = 2 cm, temos que o volume da caixa será:
V = 2.(320 - 72.2 + 4.2²)
V = 384 cm³
2. Devemos derivar a equação e igualar a zero:
V' = 0
12x² - 144x + 320 = 0
As raízes da equação são x' = 9,05 e x'' = 2,94. Mas lembre-se que o valor de x deve ser menor que 8, pois 16 - 2x > 0. Então, o valor de x que maximiza o volume é 2,94 cm.
3. A principal aplicação desse conteúdo é maximizar a capacidade de armazenamento de uma embalagem utilizando a menor quantidade de material, logo, maximizando o lucro.
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