Question

Um professor, ao elaborar uma prova composta de 10 questões de múltipla escolha, com 5 alternativas cada e apenas uma correta, deseja que haja um equilíbrio no número de alternativas corretas, a serem assinaladas com X na folha de respostas. Isto é, ele deseja que duas questões sejam assinaladas com a alternativa A, duas com a B, e assim por diante, como mostra o modelo. Nessas condições, a quantidade de folha de respostas diferentes, com a letra X disposta nas alternativas corretas, será (A) 302 400. (B) 113 400. (C) 226 800. (D) 181 440. (E) 604 800.

Answer 1

Para resolver o problema, podemos usar a combinação simples, dada pela fórmula:
$C_{n,p} = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}$

onde n é o número de elementos e p é o número de agrupamentos.

Temos 5 possíveis situações:
2 questões dentre 10 para marcar a letra A como correta.
2 questões dentre 8 para marcar a letra B como correta.
2 questões dentre 6 para marcar a letra C como correta.
2 questões dentre 4 para marcar a letra D como correta.
2 questões dentre 2 para marcar a letra E como correta.

Temos então:
$C_{10,2} = \dfrac{10!}{2!8!} \\ \\ C_{8,2} = \dfrac{8!}{2!6!} \\ \\ C_{6,2} = \dfrac{6!}{2!4!} \\ \\ C_{4,2} = \dfrac{4!}{2!2!} \\ \\ C_{2,2} = \dfrac{2!}{2!0!}$

O número total de possibilidades é o produto entre as 5 situações:
$N = \dfrac{10*9}{2}* \dfrac{8*7}{2} * \dfrac{6*5}{2} * \dfrac{4*3}{2} * \dfrac{2*1}{2} \\ \\ N = 5*9* 4*7 * 3*5 * 2*3 * 1*1 \\ \\ N = 113400$

Resposta: alternativa B

Answer 2

Resposta:

Esse problema se trata de um caso de permutação com repetição.

Explicação passo-a-passo:

Seguindo então a fórmula de permutação com repetição temos:

P10^2,2,2,2,2= 10!/2!2!2!2!2!=113400

Esse "2" é as alternativas repetidas, tipo AA, BB, CC...

Todas as vezes que o espaço(10 questões) for igual a quantidade de elementos(10 alternativas), é um caso de permutação, fique atento se há ou não repetição de elementos.