Question

Um produto para perfumar o ar começa com 30 mL e evapora exponencialmente a taxa de 12% ao dia. Determine: a) Uma fórmula para estimar o volume V, em mL, do produto que permanece t dias após a abertura do recipiente (considere o início feito quando se abre o recipiente pelo dispositivo de lacração). b) Após quanto tempo, o volume estará a ¼ do volume inicial?

Answer 1

Resposta:

a)

Pode-se perceber que o volume total, a cada dia, representa os termos de uma progressão geométrica cujo termo inicial é 30 mL e cuja razão é 1 - 12% = 88% = 0,88.

Assim, a fórmula para estimar o volume total que permanece no recipiente, t dias após a abertura do mesmo, é:

$a_{n} = a_{0}\,.\,q^{n}\\\\V(t) = 30(0,88)^{t}.$

b)

Calculemos o valor de t para o qual V(t) será um quarto do volume inicial:

$V(t) = \frac{30\,mL}{4} = 30(0,88)^{t}\\\\(0,88)^{t} = \frac{1}{4}\\\\log_{0,88}\,0,88^{t} = log_{0,88}\,0,25\\\\t = \frac{log\,0,25}{log\,0,88}\\\\ t = 10,845\,\,dias.$

Portanto, restará 1/4 do volume inicial após aproximadamente 10,845 dias da abertura do recipiente.