Question

Um Prisma quadrangular regular tem 20 cm de altura. Aresta da base mede 5cm. Determine área de base, área lateral, área total, volume, diagonal de base e diagonal do prisma.

Answer 1

As bases desse prisma são quadrados com lado igual a 5 cm, e altura igual a 20 cm
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Calculando a área da base:

$A_{base}=A_{quadrado}\\A_{base}=(a_{base})^{2}\\A_{base}=5^{2}\\A_{base}=25~cm^{2}$
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Calculando a área lateral:

Veja que a parte lateral desse prisma é formada por 4 (qtd. de lados da base) retângulos de dimensões 5 cm x 20 cm

Então, a área lateral é a área de 4 retângulos de dimensões 5 cm x 20 cm:

$A_{lateral}=4*5*20\\A_{lateral}=400~cm^{2}$
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Calculando a área total:

A área total é a soma da área lateral com a área das duas bases do prisma:

$A_{total}=A_{lateral}+2*A_{base}\\A_{total}=400+2*25\\A_{total}=400+50\\A_{total}=450~cm^{2}$
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Calculando o volume:

O volume de um prisma é dado pelo produto entre a área da base e a altura do prisma

$V_{prisma}=A_{base}*h\\V_{prisma}=25*20\\V_{prisma}=500~cm^{3}$
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Calculando a diagonal da base:

A diagonal da base é a diagonal de um quadrado cujo lado = 5 cm. Sabemos que a diagonal de um quadrado é dada por $l\sqrt{2}$

$d_{base}=(a_{base})*\sqrt{2}\\d_{base}=5*\sqrt{2}\\d_{base}=5\sqrt{2}~cm$
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Calculando a diagonal do prisma:

Traçando a diagonal do prisma, chegamos num triângulo retângulo onde a hipotenusa é a diagonal do prisma e os catetos são a altura do prisma e a diagonal da base. Aplicando o teorema de pitágoras:

$(d_{prisma})^{2}=h^{2}+(d_{base})^{2}\\(d_{prisma})^{2}=20^{2}+(5\sqrt{2})^{2}\\(d_{prisma})^{2}=400+5^{2}(\sqrt{2})^{2}\\(d_{prisma})^{2}=400+25*2\\(d_{prisma})^{2}=400+50\\(d_{prisma})^{2}=450\\d_{prisma}=\sqrt{450}\\d_{prisma}=\sqrt{25*9*2}\\d_{prisma}=\sqrt{25}*\sqrt{9}*\sqrt{2}\\d_{prisma}=5*3*\sqrt{2}\\d_{prisma}=15\sqrt{2}~cm$