Question

Um prisma hexagonal regular cuja aresta da base mede 6m tem 20m de altura e contém no seu interior água ate o nível de 10m. Neste prisma, sera colocado um cubo maciço de diagonal 9m, que ficara completamente submerso. Calcule, em metros, qual sera o aumento no nível da água do prisma.
A) 0,5
B) 0,8
C) 1,0
D) 1,2
E) 1,5

Answer 1

A Diagonal de um cubo é igual a Aresta * √3.
D = a√3
9 = a√3
a = 9/√3
Racionalizando vai ficar:
$a = \frac{9}{ \sqrt{3} } * \frac{\sqrt{3}}{ \sqrt{3} }$
$a = \frac{9 \sqrt{3}}{ \sqrt{9} }$
$a = \frac{9 \sqrt{3}}{3}$
$a = 3 \sqrt{3}$
Aresta do cubo é 3√3 m

Agora vamos calcular o volume do cubo:
V = (3√3)³
V = (3√3)*(3√3)*(3√3)
V = 27√27
V = 27*√3*√9
V = 81√3m³

Existem alguns meios de se calcular a área de um hexágono, um deles é fazer 6*(Aresta²√3/4), que neste caso vai resultar em:
$6* (\frac{6^{2} \sqrt{3}}{4})$
$6* (\frac{36 \sqrt{3}}{4})$
$6* 9\sqrt{3}$
$54\sqrt{3}$
Área da base hexagonal mede 54√3 m²

Sabendo que o nível da água que subiu corresponde ao volume do cubo, e que a área da base do prisma equivale 54√3 m², temos de calcular quanto a água subiu, e para isso a fórmula a ser usada é:
$54\sqrt{3} * altura(h) = 81\sqrt{3}$
$h = \frac{81\sqrt{3}}{54\sqrt{3}}$
Cortamos as duas raízes, pois √3/√3 é 1, continuando...
$h = \frac{81}{54}$
$h = 1,5$

Portanto, o nível da água subiu em 1,5m.
Letra E)