Question

Um prisma hexagonal possui 60 cm2 de área lateral. Sendo a aresta da base é igual a altura, calcule o volume.

Answer 1

De acordo com a explicação abaixo, o volume deste prisma é de  $15\sqrt{30}\;cm^3$.

Vamos entender o porquê?

A área lateral de um prisma é dada por:

$\boxed{A_{Lateral}=n\times A_{Face\;Lateral}\qquad,\ n=\text{N}^\circ\text{ de lados da base}}$

Como em qualquer prisma, as faces laterais são retângulos, pelo que as suas áreas podem ser calculadas da seguinte forma:

$\boxed{A_{Face\;Lateral}=a\times h\qquad,\ l=\text{Aresta da Base}\;\;e\;\;h=\text{Altura}}$

Nesta tarefa, sabemos que:

    $\bullet\;\;A_{Lateral}=60\;cm^2$

    $\bullet\;\;a=h$

Desta forma, temos que:

    $A_{Lateral}=60\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow6\times A_{Face\;Lateral}=60\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_{Face\;Lateral}=10\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow a\times h=10\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow a^2=10\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow a=\pm\sqrt{10}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow a=\sqrt{10}\;cm\qquad,\ a > 0$

Sabemos, então, que:

    $\bullet\;\;a=\sqrt{10}\;cm$

    $\bullet\;\;h=\sqrt{10}\;cm$

Podemos, então, passar ao cálculo da área da base.

Existem duas grandes formas de determinar a área de um hexágono regular:

• Conhecendo o lado (l) e o apótema (ap):
  $\boxed{A_{H\!ex\'agono}=\dfrac{6\times l\times ap}{2}}$

• Conhecendo apenas o lado (l):
  $\boxed{A_{H\!ex\'agono}=\dfrac{3\sqrt{3}\times l^2}{2}}$

Para esta tarefa, teremos de usar a segunda fórmula, uma vez que não temos qualquer informação sobre o apótema:

    $A_{Base}=\dfrac{3\sqrt{3}\times a^2}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_{Base}=\dfrac{3\sqrt{3}\times\left(\sqrt{10}\right)^2}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_{Base}=\dfrac{3\sqrt{3}\times10}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_{Base}=3\sqrt{3}\times5\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_{Base}=15\sqrt{3}\;cm^2$

Temos, agora, todos os dados necessários para determinar o volume (V) do prisma:

    $V_{Prisma}=A_{Base}\times h\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow V_{Prisma}=15\sqrt{3}\times\sqrt{10}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow V_{Prisma}=15\sqrt{3\times10}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow V_{Prisma}=15\sqrt{30}\;cm^3$

Assim, conclui-se que o volume do prisma é de  $15\sqrt{30}\;cm^3$.

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