Question

Um ponto (x,y) , do plano cartesiano pertence ao conjunto F se é equidistante dos eixos OX e OY e pertence ao círculo de equação x^2 + y^2 - 2x - 6y + 2 = 0 . É correto afirmar que F (A) é um conjunto vazio. (B) tem exatamente 2 pontos, um no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante. (C) tem exatamente 2 pontos, ambos no primeiro quadrante. (D) tem exatamente 3 pontos, sendo dois no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante. (E) tem exatamente 4 pontos, sendo dois no primeiro quadrante e dois no segundo quadrante.

#FUVEST

Answer 1

Letra D) 3 pontos sendo 2 no primeiro quadrante e 1 no segundo quadrante.

Primeiro, precisamos simplificar a equação do circulo que nos foi dada:

x² + y² - 2x - 6y + 2 = 0

(x²-2x) + (y² - 6y) + 2 = 0

Vamos simplificar utilizando a ideia de completar quadrado.

Caso você não saiba como o método de completar quadrados funcione, você pode ler mais neste link: https://brainly.com.br/tarefa/784553

observe que x² - 2x quase que tem a cara de x² - 2x+1 = (x-1)²

Para isto, precisamos somar e subtrair 1.

assim teremos

x² - 2x = x² - 2x + 1 - 1 = (x-1)² - 1

Da mesma forma teremos

y² - 6y + 9 - 9 = (y - 3)² -9

Repare que estamos somando zeros. ao somar 9 e subtrair 9, nós estamos somando um total de zero e por isso não alteramos a equação. é a mesma coisa que somar o mesmo número dos dois lados da equação

Voltando para a equação teremos:

(x²-2x +1 -1) + (y² - 6y +9 -9) + 2 = 0

((x - 1)² -1) + ((y -3)² -9) + 2 = 0

(x - 1)² + (y -3)² -10 + 2 = 0

(x - 1)² + (y -3)² - 8 = 0

Assim encontramos que o circulo está centrado no ponto (x,y)=(1,3) e que ele tem raio igual a $2\sqrt{2}$

Podemos ver o gráfico dele na figura em anexo.

Para encontrar os pontos, teremos 2 casos a se tratar:

caso 1: x=y (teremos 2 pontos no primeiro quadrante)

Neste caso, teremos a equação

(x - 1)² + (x -3)² - 8 = 0

que ao expandir, fica

x²-2x+1 +x²-6x+9 - 8 = 0

2x² -8x +2 =0

2(x² -4x +1) =0

x² -4x +1 =$\frac{0}{2}=$0

e pelo método de completar quadrados teremos

(x-2)²=3

portanto teremos dois pontos no primeiro quadrante

caso 2: y=-x (teremos 1 ponto no segundo quadrante)

Neste caso, teremos a equação

(x - 1)² + (-x -3)² - 8 = 0

que ao expandir, fica

x²-2x+1 + x²+6x+9 - 8 = 0

2x² +4x +2 =0

2(x² +2x +1) =0

x² +2x +1 =(x+1)²=0

Portanto teremos 1 ponto no segundo quadrante.

Answer 2

Resposta:

tem exatamente 3 pontos, sendo dois no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante.

Explicação passo-a-passo: