Question

um ponto se move pelo plano de modo que sua distancia ao ponto A(3,-1) seja igual a metade de sua distancia a reta y-2=0.Qual o lugar geometrico formado por este ponto?
a)O lugar geométrico é uma elipse
b)O lugar geométrico é uma Parabola
c)O lugar geométrico é uma Hiberpole

Answer 1

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⠀⠀☞ O lugar geométrico formado por um "ponto em movimento" (função) descrito pela proporção da distância a um ponto e uma reta horizontal é uma parábola, o que nos leva à opção B). ✅  

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⠀⠀ A descrição de um ponto que se move pelo plano cartesiano de tal forma que sua distância seja sempre a mesma para um reta paralela ao eixo x e para um outro ponto qualquer (neste caso o ponto A) equivale a relação dos pontos de uma parábola para com o foco (F) e a sua reta diretriz (D).  

⠀⠀Temos que o vértice V desta parábola é o ponto que é alinhado verticalmente com F. Sabendo que F = A então temos que:

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⠀⠀⇒ F = (3, -1)

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⠀ ⠀ Com isso sabemos também que V = (3, y). Mas quanto valerá y? O enunciado nos diz que a distância da coordenada y de V até a coordenada y de F é igual à metade da distância de 2 até a coordenada y de V, o que nos permite concluir que:  

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$\blue{\Large\sf~y_v~\begin{cases}\sf~y_v - (-1) = \dfrac{2 - y_v}{2} \\\\ \sf~2 \cdot (y_v + 1) = 2 - y \\\\\sf~2y_v + 2 = 2 - y_v \\\\\sf~y_v = 0 \end{cases}}$  

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⠀⠀⇒ V = (3, 0)  

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⠀⠀ Temos que p é o parâmetro da parábola e seu valor é igual à distância de D até V (ou de V até F), ou seja, p = |-1 - 0| = 1 (o que nos dá a equação da reta diretriz: y = 1):

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⠀⠀⇒ p = 1  

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⠀ ⠀ O ponto Pd é alinhado verticalmente com F e V, então sua coordenada será:

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⠀⠀⇒ Pd = (3, 1)    

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⠀⠀ Vamos agora encontrar o valor do coeficiente a da nossa parábola. Sabendo que o foco neste exercício está abaixo da reta diretriz temos que esta é uma parábola de concavidade para baixo (a < 0). Através da igualdade entre a distância de D até V com a distância de V até F, extraímos que:

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$\huge\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf a = \dfrac{-1}{4p}}&\\&&\\\end{array}}}}}$  

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$\LARGE\blue{\sf a = \dfrac{-1}{4 \cdot 1}}$  

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⠀⠀$\Huge\gray{\boxed{\sf\blue{~~a = -1/4~~}}}$ ✅  

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⠀⠀ Sabemos também que o vértice da parábola é dado pela equação:  

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf V = \left(\dfrac{-b}{2a}, \dfrac{-\Delta}{4a}\right)}&\\&&\\\end{array}}}}}$  

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$\blue{\LARGE\sf~~\begin{cases}\sf~\dfrac{-b}{2a} = 3\\\\ \sf~-b = 6a\\\\\sf~-b = \dfrac{-6}{4}\end{cases}}$  

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⠀⠀$\Huge\gray{\boxed{\sf\blue{~~b = 3/2~~}}}$ ✅  

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$\blue{\LARGE\sf~~\begin{cases}\sf~\dfrac{-\Delta}{4a} = 0\\\\ \sf~-(b^2 - 4ac) = 0\\\\ \sf~b^2 - 4ac = 0\\\\ \sf~\dfrac{9}{4} + c = 0\\\\ \end{cases}}$  

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⠀⠀$\Huge\gray{\boxed{\sf\blue{~~c = -9/4~~}}}$ ✅  

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⠀⠀Temos desta forma a equação da parábola de foco (3, -1) e reta diretriz y = 1:  

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf r: f(x) = \dfrac{-x^2}{4} + \dfrac{3}{2} - \dfrac{9}{4}}&\\&&\\\end{array}}}}}$ ✅  

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⠀⠀Finalmente temos então nossos corpos geométricos no plano cartesiano:  

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$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,1){5}}\put(0,0){\vector(-1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,-1){5}}\put(4.8,0.2){x}\put(0.2,4.8){y}\put(1.50,-0.50){\circle*{0.13}}\put(1.75,-0.95){ \sf F }\put(1.50,0.0){\circle*{0.13}}\put(1.75,0.15){ \sf P_{V} }\bezier(-5,0.5)(0,0.5)(5,0.5)\put(0.0,-1.12){\circle*{0.13}}\put(-0.55,-0.87){ \sf P_{c} }\put(4.5,0.75){\Large \sf D }\put(4.3,-3){\Large \sf r }\bezier(-1.6,-5)(1.5,5)(4.5,-5)\put(1.50,0.50){\circle*{0.13}}\put(1.75,0.75){ \sf P_{d} }\end{picture}$  

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$\footnotesize\sf (Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly$ ☹ )  

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$  

⠀⠀☀️ Leia mais sobre:  

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✈ Manipulação Algébrica (brainly.com.br/tarefa/37266101)  

✈ Função de Grau 2 (brainly.com.br/tarefa/38050217)

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍  

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁  

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$  

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄  

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍  

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$