Question

Um ponto move-se ao longo da elipse...

Answer 1

É só derivar implicitamente:

$\mathsf{x^2 \ + \ 4\cdot y^2 \ = \ 1}$

Derivando no tempo: razões infinitesimais $\mathsf{\dfrac{df}{dt}}$

$\mathsf{\dfrac{d(x^2)}{dt} \ + \ \dfrac{d(4\cdot y^2)}{dt} \ = \ \underbrace{\mathsf{0}}_{derivada \ de \ constante}}$

Aplicando a regra da cadeia:

$\mathsf{\dfrac{d(x^2)}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt} \ + \ 4\cdot \dfrac{d(y^2)}{dy} \cdot \dfrac{dy}{dt} \ = \ 0}$

$\mathsf{2\cdot x \cdot \underbrace{\mathsf{\sin(4\cdot t)}}_{\frac{dx}{dt}} \ + \ 4\cdot 2\cdot y \cdot \dfrac{dy}{dt} \ = \ 0}$

$\mathsf{4\cdot y \cdot \dfrac{dy}{dt} \ = -x \cdot \sin(4\cdot t)}$

$\boxed{\mathsf{\dfrac{dy}{dt} \ = \ \dfrac{-x \cdot \sin(4\cdot t)}{4 \cdot y}}}$