Question

Um ponto material, partindo do repouso, percorre uma circunferência com raio de 10cm em movimento uniformemente variado. Durante os dois primeiros segundos o ponto descreve um ângulo de 90°. Qual é a intensidade da velocidade linear no instante t=4?

Answer 1

A questão trata de movimento circular uniformemente variado. A mudança do movimento retilíneo para o circular está simplesmente nas variáveis que usamos, pois paramos de usar metros para representar distâncias no favorecimento do uso de ângulos, assim nossas velocidades tornam-se graus por segundo no lugar de metros por segundo. Essa mudança tem grande importância pois ela simplifica as equações que já conhecemos, realizando substituições simples.

Seja R o raio de uma circunferência onde o movimento ocorre, x é a distância percorrida em metros nessa circunferência e θ o ângulo (em radianos) percorrido pelo mesmo corpo. Vale a seguinte substituição

$\theta = \dfrac{x}{R}$

Chamamos a velocidade linear de v, enquanto a velocidade angular de ω e ainda vale que

$\omega = \dfrac{v}{R}$

Essa igualdade pode ser obtida dividindo a primeira equação pelo tempo, obtendo ambas as velocidades. E ainda temos as acelerações linear, a, e angular, α,

$\alpha = \dfrac{a}{R}$

Perceba que a substituição é simples, e todas as fórmulas lineares podem obter suas versões angulares simplesmente dividindo por R:

$i) \hspace{0.5cm} x(t) = x_0+v_0t+\dfrac{at^2}{2} \implies \dfrac{x(t)}{R} = \dfrac{x_0}{R}+\dfrac{v_0t}{R}+\dfrac{at^2}{2R}$

$\implies \theta(t) = \theta_0+\omega_0t+\dfrac{\alpha t^2}{2}$

$ii) \hspace{0.4cm} v(t) = v_0+at \implies \dfrac{v(t)}{R} = \dfrac{v_0}{R}+\dfrac{at}{R}$

$\implies \omega(t) = \omega_0+\alpha t$

Vamos utilizar essa segunda versão, a angular, para resolver o problema e voltaremos para o caso linear.

Temos que um corpo parte do repouso (ω₀ = 0) e descreve um ângulo de 90° (ou π/2 radianos, mas faremos a mudança ao final) em 2 segundos, assim, nossa equação horária da posição ( i ) torna-se

$90\°=\dfrac{\alpha *2^2}{2} \implies 2\alpha = 90\° \implies \alpha = 45\°/\mathrm{s^2}$

A unidade da aceleração angular é em graus por segundo ao quadrado, ao contrário da aceleração linear, que é metros por segundo ao quadrado. Sabendo a aceleração podemos encontrar a velocidade após um tempo pela equação horária da velocidade ( ii ),

$\omega(4) = 45*4 = 180\°/\mathrm{s}$

Para transformar novamente em linear temos de transformar em radianos, uma vez que 360° são 2π rad, metade, 180° são π rad, portanto,

$\omega = \pi$

Retornando para linear,

$\omega = \dfrac{v}{R} \implies v = \omega R$

Como R = 0.1 metros,

$v = 0.1\pi = \dfrac{\pi}{10} \, \mathrm{m/s}$