Question

Um ponto material em movimento sobre uma reta tem velocidade v=∛t no instante t. Calcule a aceleração do ponto no instante t_0=2. (Unidades SI)

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre a função velocidade e aceleração.

Dado um ponto material em movimento sobre uma reta cuja velocidade é dada por $v=\sqrt[3]{t}$, no instante $t$.

Devemos calcular a aceleração do ponto no instante $t_0=2$.

Sabendo que: $\boxed{a(t)=\dfrac{dv}{dt}}$

Assim, calculamos a derivada da função velocidade.

$a(t)=\dfrac{d}{dt}(\sqrt[3]{t})$

Lembre-se que:

• Um radical pode ser reescrito como uma potência de expoente fracionário: $\sqrt[n]{t^m}=t^{\frac{m}{n}}$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{d}{dt}(t^n)=n\cdot t^{n-1}$.
• Uma potência de expoente negativo pode ser reescrita da seguinte forma: $t^{-n}=\dfrac{1}{t^n}$.
• A racionalização do denominador do tipo $\dfrac{1}{\sqrt[n]{t^m}}$ é dada por $\dfrac{\sqrt[n]{t^{n-m}}}{t}$.

Aplique a primeira propriedade

$a(t)=\dfrac{d}{dt}(t^{\frac{1}{3}})$

Aplique a regra da potência

$a(t)=\dfrac{1}{3}\cdot t^{\frac{1}{3}-1}$

Some os valores no expoente

$a(t)=\dfrac{1}{3}\cdot t^{\frac{1-3}{3}}\\\\\\ a(t)=\dfrac{1}{3}\cdot t^{-\frac{2}{3}}$.

Aplique a terceira propriedade

$a(t)=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$

Reescreva a potência como um radical

$a(t)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{\sqrt[3]{t^2}}$

Multiplique os termos

$a(t)=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{t^2}}$

Racionalize o denominador

$a(t)=\dfrac{\sqrt[3]{t^{3-2}}}{3t}\\\\\\ a(t)=\dfrac{\sqrt[3]{t}}{3t}$

Então, finalmente, calcule a aceleração do ponto no instante $t_0=2$

$a(2)=\dfrac{\sqrt[3]{2}}{3\cdot 2}$

Multiplique os valores

$a(2)=\dfrac{\sqrt[3]{2}}{6}~m/s^2$

Esta é a aceleração deste ponto neste instante.