Question

um ponto M interno ao segmento AB dista 18 cm do ponto medio O de AB e é tal que MA/MB=7/11 calcule MA MB AB

Answer 1

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Considere r como sendo a reta suporte do segmento AB, conforme a figura a seguir:

$\large\begin{array}{r} \mathsf{{\textsf{||}}\!\!\!\underset{A}{\footnotesize\begin{array}{l}\bullet \end{array}}\!\!\!\overset{x}{\textsf{||||||}}\!\!\!\underset{M}{\footnotesize\begin{array}{l}\bullet \end{array}}\!\!\!\overset{18~cm}{\textsf{||||}}\!\!\!\underset{O}{\footnotesize\begin{array}{l}\bullet \end{array}}\!\!\!\overset{y}{\textsf{||||||||||}}\!\!\!\underset{B}{\footnotesize\begin{array}{l}\bullet \end{array}}\!\!\!\textsf{||}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright \end{array}\qquad r}\\\\ \normalsize\begin{array}{r}\textsf{dist\^ancias fora de escala.}\end{array} \end{array}$


Por abuso de notação, vamos nos referir às medidas de cada segmento apenas nomeando os seus pontos extremos. Sendo assim, temos que

•  MO = 18 cm;

•  MA = x;

•  MB = 18 + y.


De acordo a proporção dada,

  MA            7
———  =  ——
  MB           11


conclui-se que M está mais próximo de A do que de B, pois a razão entre MA e MB é 7/11 , que é um número menor que 1. Sendo assim, o ponto M deve estar à esquerda do ponto médio O, exatamente como mostra a figura acima.


Se O é ponto médio do segmento AB, então

AO  =  OB

AM + MO  =  OB

x + 18 = y

x – y = – 18          (i)


Usando a proporção dada, temos que

  MA            7
———  =  ——
  MB           11

       MA                 7
——————  =  ——
  MO + OB            11

      x               7
————  =  ——
  18 + y          11


O produto dos meios é igual ao produto dos extremos:


7 · (18 + y) = 11 · x

7 · 18 + 7y = 11x

126 + 7y = 11x

126 = 11x – 7y

11x – 7y = 126          (ii)


Resolvendo o sistema formado pelas equações (i) e (ii):

   x –   y = – 18           (i)
11x – 7y =  126          (ii)


Isole y na equação (i) e substitua em (ii):

x – y = – 18

– y = – 18 – x    –—>    × (– 1)

y = 18 + x



11x – 7 · (18 + x) =  126

11x – 7 · 18 – 7x =  126

11x – 126 – 7x =  126

11x – 7x =  126 + 126

4x =  252

         252
x  =  ———
           4

x = 63 cm    <———    medida do segmento MA


Então,

y = 18 + x

y = 18 + 63

y = 81 cm    <———    medida do segmento OB


Portanto,

•  A medida do segmento MA é

MA = x

MA = 63 cm          ✔


•  A medida do segmento MB é

MB = 18 + y

MB = 18 + 81

MB = 99 cm          ✔


•  A medida do segmento AB é

AB = x + 18 + y

AB =  63 + 18 + 81

AB = 162 cm          ✔


Bons estudos! :-)


Tags:  distância ponto médio segmento reta razão proporção geometria plana elementar