Question

Um polinômio P(x) é tal que, para todo x ∈ C, tem-se P(x) + ix . P(x – i) = x^2 + 2, em que i^2 = –1. Assim, P(i) é igual a (A) i. (B) –i. (C) 1. (D) –1. (E) 3.

#UFPR
#VESTIBULAR

Answer 1

O polinômio P(i) vale 3. Letra e).

Vamos considerar o polinômio P(x) como sendo:

$P(x) + ixP(x - i) = x^2 + 2$

Para x = i, vamos ter:

$P(i) + i*iP(i - i) = i^2 + 2\\\\P(i) + i^2P(0) = -1 + 2\\\\P(i) - P(0) = 1\\\\P(i) = P(0) + 1$

E, para x = 0, teremos:

$P(0) + i*0P(0 - i) = 0^2 + 2\\\\P(0) + 0 = 2\\\\P(0) = 2$

Substituindo o valor de P(0) na relação encontrada anteriormente, teremos:

$P(i) = 2 + 1 = 3$

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