Question

Um polígono regular tem 20 diagonais. Determine a medida, ema graus, de um de seus ângulos internos.

Answer 1

Calculamos o número de diagonais de um polígono de n lados por:

$D = \cfrac{n(n-3)}{2} \Rightarrow 20 = \cfrac{n^2-3n}{2} \Rightarrow \ \ \ \ n^2-3n-40 = 0 \\ \\ \Delta =(-3)^2-4(1)(-40) \\ \Delta = 9+160 = 169 \\ \therefore \sqrt{\Delta} = 13 \\ \\ x=\cfrac{-(-3) \pm 13}{2(1)} = \cfrac{3 \pm 13}{2} \Longrightarrow \left \{ {\big{x'=8} \atop \big{x''=-5}} \right.$

O número de lados de um polígono não pode ser negativo, logo concluímos que este tem 8 lados.

Agora, calculemos o ângulo interno do polígono:

$\alpha = \cfrac{(n-2)\cdot 180\º}{n} = \cfrac{(8-2)\cdot 180\º}{8} = \cfrac{6\cdot 180\º}{8} = \cfrac{3\cdot 180\º}{4} = 3\cdot 45\º \\ \\ \boxed{\alpha = 135\º}$