Question

Um polietro converxo tem 3 faces triangulas e 4 faces quadrangulares e 5 pentagonas. Qual o número de vértices desse polietro?

Answer 1

Primeiro será usado a fórmula 2A = soma n.F
2A = 3.3 + 4.4 + 5.5
2A = 9 + 16 + 25
2A = 50
A = 25

Agora,usaremos o teorema de Euclides V + F = A + 2
V + 12 = 25 + 2
V = 27 - 12
V= 15

V = Vértices / F = Faces / A = Arestas / n = número de lados de cada face

Answer 2

Vamos lá.

Veja, João, que a resolução é simples. Lembre-se que quando um poliedro convexo tem faces triangulares, ou quadrangulares, ou pentagonais, esse poliedro sempre vai contar arestas em dobro.
Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Já vimos que esse poliedro convexo da sua questão tem o seguinte número de faces: 3+4+5 = 12 faces (sendo 3 triangulares, 4 quadrangulares e 5 pentagonais).

ii) Agora vamos logo calcular qual é o número real de arestas desse poliedro, raciocinando assim:

3 faces triangulares. Logo 3*3 = 9 arestas contadas em dobro
4 faces quadrangulares. Logo 4*4 = 16 arestas contadas em dobro
5 faces pentagonais: logo: 5*5 = 25 arestas contadas em dobro.

Como esse número de arestas está contado em dobro, então temos que:

2A = 9 + 16 + 25
2A = 50 <-- Este é o número de arestas contado em dobro. Para encontrarmos o número real de arestas desse poliedro, então vamos isolar "A", com o que ficaremos:

A = 50/2
A = 25 <--- Este é o número real de arestas do poliedro da sua questão.

iii) Finalmente, agora vamos calcular o número de vértices. E, para isso, aplicaremos a fórmula de Euler (ou relação de Euler, tanto faz), que é esta:

V + F = A + 2 , em que "V" é o número de vértices, "F" é o número de faces e "A" é o número de arestas. Assim, como já vimos que o poliedro tem 12 faces e tem 25 arestas, então vamos substituir na fórmula de Euler acima:

V + 12 = 25 + 2
V + 12 = 27
V = 27 - 12
V = 15 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o número pedido de vértices do poliedro da sua questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.