Um poliedro é formado por faces quadrangulares e hexagonais, e tem 36 arestas e 24 vértices. O número de faces hexagonais desse poliedro é:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
Soluções para a tarefa
O número de faces hexagonais desse poliedro é 8.
Vamos considerar que:
F4 = quantidade de faces quadrangulares
F6 = quantidade de faces hexagonais.
Como o poliedro possui 36 arestas, então:
2.A = 4.F4 + 6.F6
36 = 2.F4 + 3.F6
2.F4 + 3.F6 = 36.
Além disso, temos que a quantidade de faces é igual a F = F4 + F6.
Como V = 24, pela Relação de Euler, temos que:
V + F = A + 2
24 + F4 + F6 = 36 + 2
F4 + F6 = 14.
Dessa equação, podemos dizer que F4 = 14 - F6. Substituindo o valor de F4 na equação 2.F4 + 3.F6 = 36:
2(14 - F6) + 3F6 = 36
28 - 2F6 + 3F6 = 36
F6 = 8.
Resposta:
Letra c - 8 faces hexagonais.
Explicação passo a passo:
O exercício disse que o poliedro é formado por faces quadrangulares e hexagonais, mas ele não indica nenhum dos dois. O que irá resultar nas nossas incógnitas.
Portanto, vou chamar o número de faces quadrangulares de Q e o número de faces hexagonais de H.
Seguindo o raciocinio:
O poliedro tem:
Q + H faces
36 arestas
24 vértices.
De acordo com a relação de Euler, temos que:
F + V = A + 2
F = número de faces, no nosso caso será Q+H
V = número de vértices, no nosso caso será 24
A = número de arestas, no nosso caso será 36
Aplicando na fórmula:
F + V = A + 2
Q + H + 24 = 36 + 2
Q + H = 38 - 24
Q + H = 14
Chegamos a conclusão que, o número total de faces desse poliedro é 14. Agora iremos identificar, através de um sistema de equação, quantas dentro dessas 14 faces, são as faces quadrangulares e quantas são hexagonais.
Primeira relação:
Q + H = 14
Segunda relação, iremos precisar do número de arestas.
Bom, devemos saber que, para calcular o numero de arestas de um poliedro convexo, devemos sempre pegar o numero de faces desse poliedro e multiplicar pelo numero de arestas, depois disso deve-se dividir por 2.
Exemplo: número de arestas de um poliedro com 4 faces quadrangulares:
Pega o numero de faces, no caso 4, e multiplica pelas arestas de um poliedro quadrangular, que no caso são 4, depois divide por 2:
4 * 4 / 2 = 8, ou seja, nesse exemplo, um poliedro quadrangular, tem 4 faces e 8 arestas.
Voltemos ao exercício:
Nós sabemos que o nosso poliedro tem, Q faces quadrangulares e H faces hexagonais.
Portanto, aplicando a formula das arestas temos que:
4Q + 6H /2 = 36 - arestas
Dividindo por 2 o primeiro membro da equação, temos:
2Q + 3H = 36 - essa é a nossa segunda relação do sistema.
Agora é so resolver o sistema de equação:
Temos que:
Q + H = 14
2Q + 3H = 36
Substituindo a primeira na segunda, temos:
2.(H - 14) + 3H = 36
2H - 28 + 3H = 36
H = 36 - 28
H = 8
Retomando, achamos que o número de faces hexagonais deste poliedro é igual a 08 faces.