Matemática, perguntado por giovannabelo7950, 11 meses atrás

Um poliedro é formado por faces quadrangulares e hexagonais, e tem 36 arestas e 24 vértices. O número de faces hexagonais desse poliedro é:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10​

Soluções para a tarefa

Respondido por silvageeh
14

O número de faces hexagonais desse poliedro é 8.

Vamos considerar que:

F4 = quantidade de faces quadrangulares

F6 = quantidade de faces hexagonais.

Como o poliedro possui 36 arestas, então:

2.A = 4.F4 + 6.F6

36 = 2.F4 + 3.F6

2.F4 + 3.F6 = 36.

Além disso, temos que a quantidade de faces é igual a F = F4 + F6.

Como V = 24, pela Relação de Euler, temos que:

V + F = A + 2

24 + F4 + F6 = 36 + 2

F4 + F6 = 14.

Dessa equação, podemos dizer que F4 = 14 - F6. Substituindo o valor de F4 na equação 2.F4 + 3.F6 = 36:

2(14 - F6) + 3F6 = 36

28 - 2F6 + 3F6 = 36

F6 = 8.

Respondido por willsantosm95
1

Resposta:

Letra c - 8 faces hexagonais.

Explicação passo a passo:

O exercício disse que o poliedro é formado por faces quadrangulares e hexagonais, mas ele não indica nenhum dos dois. O que irá resultar nas nossas incógnitas.

Portanto, vou chamar o número de faces quadrangulares de Q e o número de faces hexagonais de H.

Seguindo o raciocinio:

O poliedro tem:

Q + H faces

36 arestas

24 vértices.

De acordo com a relação de Euler, temos que:

F + V = A + 2

F = número de faces, no nosso caso será Q+H

V = número de vértices, no nosso caso será 24

A = número de arestas, no nosso caso será 36

Aplicando na fórmula:

F + V = A + 2

Q + H + 24 = 36 + 2

Q + H = 38 - 24

Q + H = 14

Chegamos a conclusão que, o número total de faces desse poliedro é 14. Agora iremos identificar, através de um sistema de equação, quantas dentro dessas 14 faces, são as faces quadrangulares e quantas são hexagonais.

Primeira relação:

Q + H = 14

Segunda relação, iremos precisar do número de arestas.

Bom, devemos saber que, para calcular o numero de arestas de um poliedro convexo, devemos sempre pegar o numero de faces desse poliedro e multiplicar pelo numero de arestas, depois disso deve-se dividir por 2.

Exemplo: número de arestas de um poliedro com 4 faces quadrangulares:

Pega o numero de faces, no caso 4, e multiplica pelas arestas de um poliedro quadrangular, que no caso são 4, depois divide por 2:

4 * 4 / 2 = 8, ou seja, nesse exemplo, um poliedro quadrangular, tem 4 faces e 8 arestas.

Voltemos ao exercício:

Nós sabemos que o nosso poliedro tem, Q faces quadrangulares e H faces hexagonais.

Portanto, aplicando a formula das arestas temos que:

4Q + 6H /2 = 36   - arestas

Dividindo por 2 o primeiro membro da equação, temos:

2Q + 3H = 36  - essa é a nossa segunda relação do sistema.

Agora é so resolver o sistema de equação:

Temos que:

Q + H = 14

2Q + 3H = 36

Substituindo a primeira na segunda, temos:

2.(H - 14) + 3H = 36

2H - 28 + 3H = 36

H = 36 - 28

H = 8

Retomando, achamos que o número de faces hexagonais deste poliedro é igual a 08 faces.

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